Шрифт:
Давайте посмотрим, как мы могли бы описать трёхмерную поверхность, которая является сферической. Мы используем математику, аналогичную двумерной сферической поверхности, которая описывается двумя углами и поверхность находится на постоянном расстоянии b от начала координат и углы определены, так что
z
=
b cos,
x
=
b sin cos,
x^2
+
y^2
+
z^2
=
b^2
y
=
b sin sin.
(12.2.4)
В четырёхмерном пространстве всё, что мы делаем, состоит во введении третьего угла , такого, что
w
=
a
cos
,
z
=
a
sin
cos
,
x
=
a
sin
cos
cos
,
y
=
a
sin
cos
cos
.
(12.2.5)
При использовании такого угла метрика на трёхмерной поверхности dt=0 пропорциональна квадрату радиуса и следующей величине
(d)^2
+
sin^2
(d)^2
+
sin^2
(d)^2
(12.2.6)
Для того, чтобы сделать переход к метрике (12.2.3) через радиальную координату, мы попросту вводим преобразование такое, что (r^2/=x^2+y^2+z^2),
dr
r
=
d
sin
,
(12.2.7)
которое приводит к выражению для cos
cos
=
1-kr/4
1+kr/4
.
(12.2.8)
Когда мы сравниваем выражения, мы находим, что метрика (12.2.3) правильно представляет трёхмерную поверхность, которая на самом деле является сферической. R(t) является преобразующим множителем между координатными дифференциалами и длинами дуги, который меняется со временем; так что метрика в общем случае не является статической.
12.3. Интерпретация космологической метрики
Первый вопрос, который мы должны были бы исследовать, состоит в том, какова динамика объектов в такой метрике. Будут ли покоящиеся объекты оставаться в покое? Для таких объектов только ut не равно нулю и уравнение движения сводится к следующему соотношению:
du
ds
=-
tt
u
t
u
t
.
Так как
tt
=
0,
,
такая система координат может быть реализована набором массивных частиц.
Используя выражение метрики (12.2.3), мы должны были бы иметь возможность сделать некоторые предсказания относительно наблюдаемых величин на языке функции R(t). Может быть тогда возможно будет построить модель вселенной, в которой точно определяется функция R(t). Например, стационарная вселенная Хойла соответствует такой функции R(t), которая экспоненциально зависит от времени. Вселенная Милна соответствует такой функции R(t), которая попросту пропорциональна времени t.
Рис. 12.1.
Давайте кратко рассмотрим некоторые свойства вселенной Милна для того, чтобы только понять, что вселенная выглядит одинаково в соответствующие моменты времени с точки зрения наблюдателя, расположенного в различных местах пространства. Мы говорили, что такая модель соответствует нулевой гравитации. Например, возможно переопределить координаты таким образом, чтобы получившаяся в результате метрика была плоской. Тем не менее, когда мы переписали метрику, оказалось, что наша трёхмерная поверхность имеет кривизну. Мы можем понять источник этой кривизны, рассматривая множество часов с идентичными маятниками, которые расходятся с разными скоростями от заданного начала координат в заданный момент времени t=0. Если мы рассмотрим диаграмму Минковского, мировые линии различных часов представляют временные оси различных координатных систем. Таким образом, поверхности равных моментов времени искривляются (см. рис. 12.1). Трёхмерная поверхность ”при заданном времени” соответствует подобной гиперболической поверхности и, следовательно, имеет некоторую кривизну. Тем не менее, четырёхмерное пространство точно такое же плоское, как и было ранее.
Более близкая операционистская точка зрения на такую кривизну касается измерения радиуса и длины окружности. Если мы измеряем их в подпространстве ”сейчас”, то найдём, что длина окружности равна 2R. Измерения при постоянном значении t соответствуют измерениям, проведённым так, как если бы локальная галактика, убегающая наружу со скоростью, пропорциональной расстоянию, находилась в покое. Таким образом, радиус измеряется стержнями, движущимися вдоль своей длины. Длина окружности измеряется стержнями, движущимися перпендикулярно своей длине, отсюда это наблюдение эффективной кривизны.