Шрифт:
Теперь, когда мы прояснили значение трёхмерных поверхностей при постоянном значении t, давайте посмотрим, что мы можем вывести, что связано с астрономическими наблюдениями. Например, давайте выведем детектируемое изменение в видимой частоте сигнала, который испускается где-нибудь в другом месте, причём это изменение выразим через функцию R(t). Мы должны спросить, какой интервал соответствует времени приёма, если мы точно определили время испускания сигнала и координату r. Траектория светового сигнала задаётся следующим соотношением (ds)^2=0. Если свет движется вдоль радиуса, мы имеем
(ds)^2
=
0
=
(dt)^2
–
R^2(t)
(1+kr^2/4)^2
(dr)^2
,
из которого следует, что
dt
R(t)
=
dr
(1+kr^2/4)
.
(12.3.1)
Если мы обсуждаем часы при постоянном значении координаты r, тогда dt есть интервал собственного времени; число тиканий часов есть попросту dt. Для того, чтобы сравнить частоты, мы должны вычислить отношение продолжительности времени испускания сигнала ко времени его приёма. Если мы посылаем сигнал, причём начинаем посылать сигнал в момент времени t и заканчиваем в момент времени t+t, то начало приёма сигнала соответствует времени t и его приём заканчивается в момент времени t+t. Интегрируя вдоль световой траектории, определяемой соотношением (12.3.1), от начальной точки испускания до начальной точки приёма, получаем
t
t
dt'
R(t')
=
r
0
dr
1+kr^2/4
=
t+t
t+t
dt'
R(t')
,
(12.3.2)
поскольку координата r есть постоянная величина для заданной галактики. Какова бы ни была длина интервала t-t, если обе величины t и t малы сравнительно с изменениями функции R(t), то из уравнения (12.3.2) следует, что
t
R(t)
=
t
R(t)
.
(12.3.3)
Таким образом, сравнение частот определяется функцией R(t) полученный результат определяется соотношением:
приёма
=
R(t)
R(t)
·
w, w
=
естественная частота.
(12.3.4)
Очевидно, что функция R(t) - масштабный фактор для вселенной. Если R(t) есть монотонно возрастающая зависимость от t, что соответствует расширяющейся вселенной, то все принимаемые частоты имеют красное смещение. Величина этого смещения будет приблизительно пропорциональна (t-t), если этот интервал мал по сравнению с интервалом, на котором происходит изменение функции R(t).
Перед тем, как мы сможем связать это красное смещение с хаббловским красным смещением, мы должны придумать схему для задания расстояний, соответствующих различным значениям координаты r.
12.4. Измерения космологических расстояний
Давайте представим себе, что мы пытаемся определить расстояние до удалённой галактики, рассматривая её видимый угловой диаметр. Предположим, что галактика имеет диаметр L; тогда, если мы наблюдаем угловую протяжённость , расстояние до галактики D должно задаваться следующим соотношением
·
D
=
L
,
т.е.,
D
=
L
.
(12.4.1)
Предполагается, что L есть длина в равные моменты времени, т.е. dt=0. Мы предполагаем, что величина остаётся постоянной и что может рассматриваться как инфинитезимальная величина. Интервал является времени-подобным:
–
(ds)^2
=
R^2(t)
(1+kr^2/4)^2
r^2
(
)^2
=
L^2
,
(12.4.2)
так что
D
=
R(t)r
(1+kr^2/4)
.
(12.4.3)
При диапазоне значений расстояний много меньших, чем 1/k величина r будет соответствовать расстоянию, измеряемому таким способом с масштабным множителем R(t) Мы видим также, что при использовании расстояний, измеряемых таким способом, красное смешение удалённых галактик должно быть пропорционально их расстоянию от нас (закон Хаббла) как результат, получаемый в первом порядке.
Другой достаточно общий метод оценки расстояний основан на использовании видимой яркости галактик. Предполагается, что галактики имеют постоянную среднюю "стандартную” яркость, что соответствует испусканию заданного числа фотонов заданной энергии в каждую секунду. Этот метод аналогичен оцениванию расстояний по методу стандартной свечи, при котором говорится, что D^2 =(Стандартная интенсивность/Видимая интенсивность), поскольку интенсивность удовлетворяет закону обратных квадратов. Для нашей нынешней задачи видимый телесный угол есть (L^2/D^2), где L - есть диаметр галактики; мы должны включить также множитель, учитывающий замедление времени, поскольку N фотонов, испущенных в нашем направлении в интервале времени t, должны будут наблюдаться в интервале t, связанном с интервалом t соотношением (12.3.3). Если мы сравниваем интенсивности, мы должны включить множитель, который учитывал бы уменьшение энергии фотонов вследствие наличия красного смещения, выражение для которого приведено в соотношении (12.3.4). Конечный результат, описывающий соотношение между расстоянием D и r, есть