T^1

r

+

1

2

'

(T^1-T)

+

1

r

(T^1-T^2)

=

0

=-

1

2

'

(p+)-p'

,

(14.1.4)

что по сути дела утверждает то, что давления в радиальном направлении уравновешены, как это и должно быть в нашем статическом решении. Это уравнение (равенства нулю дивергенции) служит тому, чтобы исключить '. Далее мы получаем соотношение для того, чтобы исключить exp(-). Сначала мы перепишем G через новую функцию M(r), как показано в следующих соотношениях

G

=

1

r^2

d

dr

r(1-e

–

)

.

(14.1.5а)

Если мы положим

M(r)

=

1

2

r(1-e

–

)

,

e

–

=

1

–

2M(r)

r

,

(14.1.5б)

тогда

dM

dr

=

4r^2

G

.

(14.1.5в)

Оказывается, что функция M(r) пропорциональна массе звезды, так как это есть интеграл плотности . Тем не менее, интерпретация не является настолько прямой, поскольку имеются особенности координат, через которые измеряется функция . Мы обсудим это ниже. Подставляя выражения для ' и exp(-) в уравнение (14.1.3а), получаем

1

–

2M

r

1

r

dp

dr

=-

(p-)

4Gp

+

M

r^3

.

(14.1.6)

Вместе с дифференциальным уравнением для M(r) и с уравнением состояния, связывающим величины p и , мы имеем систему связанных уравнений, которые могут быть в принципе разрешены для функций M(r), p и ; с подходящими граничными условиями они могли бы описывать сверхзвезду в приближении статического решения.

Какого рода уравнение состояния мы возьмём? Масса, образованная из 10 солнечных масс, является очень сильно разреженной, будучи размазанной по области с галактическими размерами; даже при температуре несколько единиц 10 градусов Кельвина, газовое давление является довольно низким. Тем не менее, оказывается, что плотность излучения, которая пропорционально T, даёт существенную часть энергии массы покоя нуклонной плотности. Мы получаем осмысленное приближение, пренебрегая газовым давлением по сравнению с давлением излучения; в том же самом духе, мы пренебрегаем небольшим увеличением массы нуклона, вызываемым их скоростями. В единицах энергии массы покоя нуклона мы имеем тогда, если s - плотность нуклонов, что

=

s+

,

(14.1.7а)

p

=

1

3

.

(14.1.7б)

Эти уравнения связывают p и , но мы всё ещё нуждаемся в том, чтобы в точности определить для того, чтобы иметь уравнение состояния. Мы делаем адиабатическое приближение, которое делает каждый, пытающийся иметь дело с такими проблемами, такое, что распределение температуры является тем же самым, как будто это есть величина, которая падает вместе с первоначально однородным распределением без всякого перемешивания или переноса энергии между различными областями. Если мы сжимаем вещество внутри ящика, все частоты вырастают на один и тот же множитель, обратно пропорциональный длине ящика. Так как энтропия является постоянной для адиабатического процесса, то температура должна увеличиваться таким же образом. Таким образом, плотность нуклонов пропорциональна кубу температуры, и плотность энергии излучения пропорциональна T. На языке температуры, измеренной в единицах 10 градусов, и энергии, в единицах массы покоя нуклона, имеем

=

aT

,

s

=

aT

.

(14.1.8)

Величина amn где mn есть масса нуклона, есть константа, имеющая значение 8.4 г/см^3; - параметр, связанный с не зависящей от радиуса энтропией на барион соотношением (энтропия на барион) = 4/(3). Эти результаты могут быть выведены также из общего условия для адиабатического сжатия, которое может быть выражено как

s^2

d(/s)

ds

=

p

=

3

.

(14.1.9)

Эти соотношения между давлением, плотностью и адиабатическими процессами получены в связи со звёздными задачами в классическом случае. Звёзды, в которых и давление, и плотность следуют степенным зависимостям от температуры всюду, известны как политропы.

На языке новой температуры t=T/ и новых единиц таких, что 8Gmna=1, система уравнений принимает следующий вид:

=

a

[

t

+

t^3

],

(14.1.10а)

p

=

a

1

3

t

,

(14.1.10б)

dm

dr

=

1

2

[

t

+

t^3

]

r^2

,

(14.1.10в)

dt

dr

=-

r

2

3

4

+

t

<