15.2. Орбиты частиц в поле Шварцшильда

Поучительно получить описание радиального движения частиц как функции собственного времени s. Как обычно для задач описания движения в поле центральных сил, движение происходит в одной плоскости (мы выбираем её таким образом, что =/2, и радиальное движение определяется двумя параметрами K и L, связанными с полной энергией и угловым моментом, которые есть первые интегралы уравнения для времени и уравнения для угла, как следует из следующих уравнении: уравнения геодезических

d

ds

g

dx

ds

=

1

2

g

x

dx

ds

dx

ds

,

(15.2.1)

может быть тривиальным образом проинтегрировано, когда =3,4 (координаты , t), поскольку метрический тензор не зависит от и t, и, следовательно, правая часть уравнения (15.2.1) равна нулю. Из этого условия определяются следующие интегралы:

K

=

(1-2m/r)

dt

ds

,

L

=

r^2

d

ds

.

(15.2.2)

Уравнение для описания изменения радиальной координаты может быть получено, если мы положим =1 в уравнении (15.2.1), но это требует больше работы, чем это необходимо. Легче получить уравнение для описания изменения радиальной координаты из условия

g

dx

ds

dx

ds

=

1,

(15.2.3)

которое может быть явным образом записало через величины L и K следующим образом:

K^2

(1-2m/r)

–

1

(1-2m/r)

dr

ds

^2

–

L^2

r^2

=

1.

(15.2.4)

Собственное время, соответствующее пролёту частицы от значения радиуса r до значения радиуса r, задаётся следующим соотношением:

ds

=

r

r

dr

K

–

(1-2m/r)

(1+L^2/r^2)

– 1/2

.

(15.2.5)

Необходимо заметить, что более не происходит ничего ужасного при r=2m, подынтегральное выражение ведёт себя хорошо, нет никакой задачи соединения траектории, проходящей через какой-либо промежуток (содержащий координатную особенность r=2m). Если бы мы сначала изучали орбитальные движения и не беспокоились по поводу метрики, мы могли бы не заметить сингулярности в координатах Шварцшильда и могли бы получить правильные ответы, просто используя соотношение (15.2.5).

Появление квадратного корня является довольно обычным при рассмотрении орбитальных движений, и анализ поведения выражения, стоящего под квадратным корнем, является весьма важным. Интегрирование прекращается в том случае, если выражение, стоящее под квадратным корнем, становится отрицательным, меньшие значения радиуса никогда не могут быть достигнуты частицами (движущимися по этим геодезическим). Если угловой момент L достаточно велик, то квадратный корень становится мнимым при значении радиуса большем, чем 2m, и орбиты имеют такое же качественное поведение, что и в ньютоновском случае.1 С другой стороны, если энергия и угловой момент являются такими, что частица должна пересечь значение радиуса 2m, то выражение, стоящее под знаком квадратного корня, не должно стать отрицательным при значениях радиальной координаты меньших, чем r=2m, и это означает то, что все частицы продолжают своё падение к началу координат. Фактически, как только частица оказалась внутри области r=2m, частицы с большим угловым моментом L падают быстрее, ”центробежная сила” очевидно действует скорее как притяжение, чем как отталкивание.

1 В метрике Шварцшильда полное решение задачи о сечении захвата частицы, обладающей произвольной скоростью на бесконечности, приведено в работе [Заха 88*] (а обобщение этих соотношений на случай заряженной чёрной дыры получено в работе [Zakh 94*]). (Прим. перев.)

В этом месте я хочу упомянуть некоторые своеобразные результаты, которые получаются, когда делается предположение, что поле Шварцшильда соответствует заряженному объекту, на который смотрят с расстояния. Легко может быть показало, что единственное изменение в метрике заключено в следующей замене

(1-2m/r)

– >

(1-2m/r+q^2/r^2)

,

(15.2.6)

где q - видимый заряд. Когда такое выражение подставлено в соответствующий интервал собственного времени (15.2.5), квадратный корень неизбежно является мнимым для достаточно малых значений радиуса, так что частица никогда не попадает в начало координат, а всегда отражается назад. Это отталкивание не обусловлено действием электрической силы между частицами, оно является присущим этой метрике свойством, если мы настаиваем на том, что поля должны бы соответствовать таким полям, которые образует при больших значениях радиуса r заряженная частица, находящаяся в начале координат. Таким образом, это отталкивание должны были бы чувствовать даже нейтральные частицы, падающие в заряженный центр.