Среди сверхдиагональных квадратов Генезиса выделяют еще более совершенные объекты. Их так и называют – Совершенные квадраты. Совершенные квадраты возможны только для случая n = 4k, то есть, совершенными могут быть только квадраты четвертого, восьмого, двенадцатого и так далее порядка. Совершенным квадратом Генезиса называется сверхдиагональный квадрат, обладающий совокупностью свойств, связанных с различными комбинациями элементов квадрата.

Не останавливаясь подробно на всех свойствах (на данный момент известно 9 таких свойств), рассмотрим один из совершенных квадратов Генезиса четвертого порядка, на примере которого обсудим некоторые свойства совершенного квадрата:

Если посчитать сумму чисел в любом квадрате 2x2, входящем в Квадрат Генезиса, то окажется, что она равна 34, что совпадает с Константой Генезиса K4

Сумма чисел по углам квадрата тоже равна K4, а именно, 1+12+13+8 = 34.

Если внутри квадрата выделить квадраты размерами 3x3, то сумма чисел, расположенных по углам квадрата 3x3 тоже равна константе Генезиса. Например,

Существуют также более «затейливые» свойства, типа равенства суммы квадратов чисел первой и третей строки (столбца):

Каждый элемент квадрата Генезиса называется клеткой. Клеткам квадрата ставятся в соответствие пары целых чисел (х, у), называемых координатами, где х – номер вертикального ряда, у – номер горизонтального ряда, на пересечении которых находится данная клетка. При этом горизонтальные ряды нумеруются слева направо, а вертикальные – снизу вверх, а для нумерации рядов используются числа 0,1,2, …, n – 1.

Таким образом, для квадрата третьего порядка имеет место следующая нумерация клеток

Данное представление позволяет определить некую экстраполяцию квадрата Генезиса на всю плоскость – можно продолжить разбиение на клетки всей плоскости, вводя координаты (х, у). В данном случае, х и у будут принимать уже любые целочисленные значения. С одной стороны, такая процедура важна для реализации некоторых алгоритмов построения квадратов Генезиса, с другой стороны – это модель, закладывающая перспективы возможности роста квадратов Генезиса.

Интересным может оказаться вариант матричных интерпретаций квадратов Генезиса. Если задаться вопросом о нахождении собственных чисел матриц, соответствующих квадратам, то константа Генезиса снова дает о себе знать и в этом рассмотрении. Рассмотрим матрицу

Задача о нахождении собственных чисел приводит к характеристическому уравнению •(–34)(2–4•34)=0. Очевидно, что одно из собственных чисел совпадает с константой K4.

Для другого квадрата Генезиса четвертого порядка с матрицей

набор собственных чисел иной – он включает только рациональные числа: 0, 8, –8, 34. Тем не менее, числа 34 и 0 присутствуют в данном наборе снова. Собственный вектор, соответствующий собственному числу 4 = 34, состоит из одних единиц V4 = (1, 1, 1, 1). (Аналогичное утверждение справедливо и для предыдущей матрицы – собственному числу 4 = 34 = K4 соответствует собственный вектор, составленный из единиц).

Матрица квадрата Генезиса шестого порядка

имеет собственное число равное 111. Число 111 является константой Генезиса K6.

Для матрицы квадрата Генезиса восьмого порядка, приведенного выше, в наборе из восьми собственных чисел присутствуют четыре действительных числа: 1 = 2 = 3 = 0, 4 = 260. Напомним, что 260 является константой Генезиса восьмого прядка. Кроме того, собственный вектор, соответствующий собственному числу 260, также оказывается составленным из единиц V4 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).