Шрифт:
E
=
m^2+p^2
.
(87)
Это выражение справедливо в равной мере как при больших, так и при малых импульсах, причём его можно упростить для обоих предельных случаев.
Выражение энергии через импульс: ньютоновский и ультрарелятивистский предельные случаи
Когда импульс p мал по сравнению с m (т.е. когда скорость весьма мала по сравнению с единицей —«нерелятивистский предел»), выражение (87) можно разложить, пользуясь формулой для бинома или каким-либо иным способом, и получить
E=m
1+
p
m
^2
1/2
=m+
p^2
2m
+
p
8m^3
+…
(малые
p
).
При достаточно малых значениях импульса p этот ряд можно с любой степенью точности приравнять его первым двум членам
Em
p^2
2m
(малые
p
).
(88)
Первое слагаемое имеет здесь смысл энергии покоя, а второе представляет собой ньютоновское выражение для кинетической энергии частицы с импульсом p.
Если же импульс p очень велик по сравнению с m («ультрарелятивистский предел»), то точное выражение (87) снова может быть разложено в степенной ряд, на этот раз в виде
E=p
1+
m
p
^2
1/2
=p+
m^2
2p
+
m
8p^3
+…
(большие
p
).
Если импульс достаточно велик, этот ряд можно с любой желаемой степенью точности приравнять его первому слагаемому:
Ep
(ультрарелятивистский предел).
(89)
В этом предельном случае масса покоя не играет роли во взаимной связи импульса и энергии.
Правдоподобно ли, что катеты E и p треугольника на рис. 90 могут неограниченно возрастать, в то время как гипотенуза m остаётся постоянной и оказывается меньше любого из катетов? Возможно ли, чтобы в прямоугольном треугольнике гипотенуза сохраняла постоянную длину, в то время как катеты неограниченно удлинялись? Такое поведение длин гипотенузы и катетов в корне противоречит законам эвклидовой геометрии. Однако рассматриваемая нами геометрия не является эвклидовой, а в лоренцевой геометрии пространства-времени квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов. Поэтому сочетание не изменяющейся в длине гипотенузы с неограниченно растущими и в пределе равными друг другу катетами, E и p, отнюдь не парадоксально.
Импульс как мера скорости переноса массы-энергии
Можно и иначе убедиться в том, что энергия должна приближаться по величине к импульсу, когда каждая из этих величин становится много больше, чем масса покоя. В самом общем случае, без каких бы то ни было приближений, из формул
p
=
m
1-^2
и
E
=
m
1-^2
следует результат
p
=
E
(для всех скоростей).
(90)
Из этого равенства следует, что импульс p неограниченно приближается по своей величине к энергии E, когда скорость становится сколь угодно близкой к скорости света.
Существует очень наглядная интерпретация равенства (90). Здесь E описывает массу-энергию частицы, а — скорость, с которой движется эта масса-энергия. Поэтому их произведение, импульс p, является мерой скорости переноса массы-энергии. Любопытно, что множитель, описывающий в этой формуле массу-энергию [величина E в равенстве (90)], не равен той массе m, появления которой можно было бы ожидать из теории Ньютона. За перенос массы-энергии ответственна не одна лишь масса покоя, но сумма массы покоя с массовым эквивалентом кинетической энергии, иными словами, полная масса-энергия E.
Рис. 91. Решать, какая из релятивистских формул удобна для анализа экспериментальных данных, следует исходя из величин, измеряемых на опыте:
а) Скорость определяется по времени полёта, энергия — из закона сохранения, применённого к предыдущим или последующим столкновениям.
б) Полезна при анализе столкновений, когда нас не интересует скорость, а внимание сосредоточено на проверке или применении законов сохранения.
в) Скорость определяется по времени полёта, импульс — по искривлению трека частицы в магнитном поле.
г) Для нахождения p, или , или E, когда две из величин известны; m не представляет интереса.
Масса покоя непосредственно не представлена в равенстве p=E. Мы помещаем это равенство поэтому в центр рис. 91 и размещаем вокруг него прочие ключевые формулы, связывающие энергию, импульс и скорость. Связи между каждой из них обладают своими специфическими областями применения, как это указано в подписи к рисунку.
Мы ничего не говорили в нашем исследовании импульса и энергии о внутренней структуре (если таковая имеется) объекта — носителя этих характеристик. Этот объект может быть ракетой, сложной органической молекулой, элементарной частицей или даже фотоном — элементарным квантом света. Во всех случаях движение такого объекта совершается со скоростью, меньшей скорости света, за исключением, конечно, самого света. Для света, распространяющегося в вакууме, скорость в точности равна единице. В этом случае формулы