Преобразования Лоренца для энергии и импульса

Рассмотрим теперь столкновение двух частиц; пусть px и px будут соответственно x-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в лабораторной системе отсчёта, а E и E — их «релятивистскими энергиями» в этой же системе. Пусть аналогично p'x и p'x будут x-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в системе отсчёта ракеты. Для того чтобы записать x-компоненту полного импульса в системе отсчёта ракеты до столкновения, следует сложить друг с другом два выражения x-компоненты импульса (для каждой частицы), фигурирующие как второе уравнение в системе (78):

(p'

x

+

p'

x

)

=

(p

x

+

p

x

)

ch

r

–

(E

+

E)

sh

r

.

Таблица 9.

Неизменность импульса в двух системах отсчёта гарантирует неизменность энергии в обеих системах

**

СВЯЗЬ С ОБСУЖДЕНИЕМ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Равенство нулю x-компоненты вектора в одной системе отсчёта никак не облегчает исследование поведения t-компоненты этого вектора. Здесь изображены три вектора, обладающие разными абсолютными величинами (и один из них вообще равен нулю), которые все кажутся одинаковыми для исследователя, знающего лишь величину их x-компонент.

**

Закон сохранения импульса утверждает, что полная сумма импульсов после столкновения равна полной сумме импульсов до столкновения. Или, что то же самое, имеется определённая величина — изменение полного импульса при столкновении, о которой мы знаем, что она равна нулю. Но это ещё не всё. Нам нужна вся информация о полном 4-векторе (равном изменению полного 4-вектора энергии-импульса при столкновении). Рассматривая одну только пространственную компоненту (или, на нашей диаграмме, удостоверившись только в равенстве нулю x-компоненты этого 4-вектора), мы никак не можем здесь показать, что равна нулю и временная компонента (иначе говоря, что равно нулю изменение энергии).

Взглянуть на этот же вектор из другой системы отсчёта — значит сразу же обнаружить разницу между векторами, казавшимися одинаковыми в прежней системе отсчёта. Допустим, что, как мы знаем, пространственная компонента некоторого 4-вектора равна нулю в двух разных системах отсчёта. Тогда можно быть уверенным, что этот 4-вектор вообще равен нулю (случай, изображённый справа).

**

Равенство нулю пространственной компоненты («импульсной компоненты») определённого 4-вектора (который и есть разность полных 4-векторов энергии-импульса до и после столкновения) в двух различных системах отсчёта гарантирует, что все компоненты этого 4-вектора вообще равны нулю. Значит, из того факта, что импульс сохраняется как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты, можно заключить, что и энергия сохраняется в обеих системах.

Такое же уравнение можно записать для этих частиц и после столкновения (две отдельные частицы после упругого столкновения; одна объединённая частица при неупругом ударе и много частиц, если неупругий удар сопровождался дроблением). Можно следующим образом сопоставить эти уравнения до и после столкновения:

До столкновения

: полная

x

– компонента импульса, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты

=

До столкновения

: полная

x

– компонента импульса, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта

ch

r

–

До столкновения

: полная релятивистская энергия, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта

sh

r

(79)

^

^

^

1-й этап

: эти члены равны друг другу ввиду закона сохранения импульса!

2-й этап

: эти члены равны друг другу ввиду закона сохранения импульса!

Вывод

: эти члены равны друг другу, что доказывает сохранение релятивистской энергии!

V

V

V

После столкновения

: полная

x

– компонента импульса, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты

=

После столкновения

: полная

x

– компонента импульса, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта

ch

r

–

После столкновения

: полная релятивистская энергия, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта

sh

r

(80)

Второй раз в этой главе мы потребуем, чтобы импульс сохранялся при столкновениях как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты. Ввиду этого требования каждая из скобок, обозначающая импульс в уравнении (79), будет равна соответствующей скобке, обозначающей импульс в уравнении (80). Если справедливы оба уравнения, причём соответствующие скобки для импульсов равны друг другу, то скобки, обозначающие энергию, также должны быть равны. Поэтому в лабораторной системе отсчёта полная релятивистская энергия одинакова до и после столкновения: полная релятивистская энергия при столкновениях сохраняется.