(в единицах массы).

(82)

Масса как абсолютная величина 4-вектора энергии-импульса

Но так определяется квадрат «длины» 4-вектора энергии-импульса 1). Эта формула совершенно аналогична выражению для квадрата четырёхмерного пространственно-временно'го интервала между соседними мировыми точками на мировой линии частицы

(d)^2

=

(dt)^2

–

(dr)^2

.

1) По ряду причин удобно выражать квадрат абсолютной величины 4-вектора через все четыре компоненты этого вектора, однако при этом следует быть несколько более внимательным, чем при записи квадрата 3-мерного вектора в эвклидовом пространстве. В этой книге, как и в большей части современной литературы, 4-векторы записываются через их компоненты с верхними индексами (контравариантные компоненты): p t = E = m

dt

d , p x = m

dx

d , p y = m

dy

d , p z = m

dz

d .

В другом представлении используются нижние индексы (ковариантные компоненты), однако все пространственные компоненты при этом меняют знак: p t = m

dt

d , p x =- m

dx

d , p y =- m

dy

d , p z =- m

dz

d .

Эти два альтернативных представления, использующие контравариантные и ковариантные компоненты (верхние и нижние индексы), применимы не только к p, но и к другим 4-векторам, например к радиусу-вектору R, соединяющему начало координат некоторой инерциальной системы отсчета с каким-либо данным событием (мировой точкой), так что Rt = t , Rx = x , Ry = y , Rz = z

и Rt = t , Rx =- x , Ry =- y , Rz =- z .

В этих обозначениях инвариантный квадрат интервала для события, отделенного от начала временноподобным интервалом, имеет стандартный вид ^2 = RtRt + RxRx + RyRy + RzRz = = t^2 - x^2 - y^2 - z^2 .

Если же интервал является пространственноподобным, его квадрат следует записывать как ^2 =-( RtRt + RxRx + RyRy + RzRz )= =- t^2 + x^2 + y^2 + z^2 .

4-вектор энергии-импульса является временноподобным 4-вектором по весьма простой причине: ведь две последовательные мировые точки на мировой линии одной и той же частицы разделены временноподобным интервалом. Поэтому квадрат абсолютной величины этого вектора следует вычислять по формуле, аналогичной формуле для ^2, т. е.

Квадрат

абсолютной

величины

= p t p t + p x p x + p y p y + p z p z = =

m^2[(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2]

d^2 = m^2 .

В геометрии Эвклида, где векторы обладают лишь пространственными компонентами, такое различие между верхними и нижними индексами несущественно, и там часто используются лишь нижние индексы, причем в эвклидовой геометрии знак пространственных контравариантных и ковариантных компонент берется один и тот же. Однако в геометрии пространства-времени, где существует разница в знаке пространственных компонент, взятых с верхними или с нижними индексами, необходимо явно учитывать контравариантность и ковариантность компонент. Кроме того, обычно удобнее работать с контравариантными компонентами 4-векторов (верхние индексы!), так как именно эти компоненты часто бывают непосредственно связаны с координатами мировых точек, дифференциалы радиусов-векторов которых являются контравариантными по определению в произвольных системах координат (не только в декартовых).

[В оригинале книги это примечание имело несколько иной вид, а именно авторы приняли, что при переходе от контравариантных к ковариантным компонентам изменяют знак не пространственные, а временная компонента 4-векторов, что позволяет проще увязать изложение с эвклидовой геометрией для 3-мерных векторов. Однако в современной литературе, особенно по общей теории относительности, преобладает противоположный выбор сигнатуры, так что многие авторы перешли к принятой нами здесь записи компонент векторов и в частной теории относительности, например Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц в последнем издании (1967 г.) «Теории поля». Для того чтобы стандартизировать изложение, переводчику пришлось несколько изменить данное примечание, сохранив общий стиль авторов. Следует отметить, что здесь, как и в других частях книги, они предполагают, что используются лишь декартовы системы координат; если бы мы не ограничивались здесь декартовыми координатами (перейдя, например, к сферическим координатам), нам пришлось бы явно проводить различие между ковариантными и контравариантными компонентами векторов уже в 3-мерном эвклидовом пространстве. Тогда радиус-вектор не был бы истинным вектором: свойствами вектора обладали бы лишь его бесконечно малые приращения.— Прим. перев.]

В обеих формулах слагаемые, стоящие справа, зависят от состояния движения частицы или той системы отсчёта, в которой производится наблюдение. Иными словами, отдельные компоненты 4-вектора энергии-импульса (энергия частицы E и её импульс p) обладают разными значениями в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты. Левые части каждого из этих соотношений (масса покоя m и интервал ), напротив, одинаковы во всех системах отсчёта.

Явное выражение для энергии через импульс можно получить из формулы (86), разрешая её относительно E: