Рекомендации

 Возможно, 10*rand(1) или 10+2*randn(1) были бы лучшей формулой для значений

 в экспериментальной модели. Опишите качественные различия между реальными ситуациями, которые могут описывать эти математические выражения.

Для выбранного выражения изучите поведение модели для различных вариантов

 и . Как ведет себя ? Каково среднее значение  в долгосрочной перспективе? Соответствуют ли результаты вашей математической интуиции?

 По мере увеличения

 эта модель демонстрирует бифуркации? Хаос?

 Исследуйте, что происходит, если численность популяции небольшая и принимает целые значения. В MATLAB команда floor(p) возвращает ближайшее целое число меньше или равное

. Модель будет похожей на , где значение  сначала задаётся константой, а затем изменяется случайным образом.

Представляя дискретную логистическую модель в предыдущих разделах, старались делать модель максимально простой, чтобы сосредоточиться на разработке основных идей. Теперь, когда концепции равновесия и стабильности, а также техника построения паутинных диаграмм были разработаны, можно уделить больше внимания созданию более реалистичной модели.

Рассматривая график функции

 от  на рисунке 1.9, для модели , одной из очевидных, но реально невозможных особенностей динамического поведения моделируемой численности, является тот факт, что парабола опускается ниже горизонтальной оси, когда отклоняемся достаточно далеко вправо. Это означает, что большие популяции  становятся отрицательными на следующем временном этапе. Хотя можно интерпретировать отрицательную популяцию как вымершую, либо как долг, кредитное плечо, в экономических приложениях, но это может быть не то поведение, которое на самом деле произойдет и которое хотели бы, чтобы модель описала.

Рисунок 1.9. Модель с нереалистичными

 начиная с некоторого .

Возможно, более реалистичная модель допускала бы сколь угодно большие

, от которых значения  дают очень маленькие, но все же положительные, значения . Таким образом, популяция, значительно превышающая свою пропускную способность, может немедленно упасть до очень низких уровней, но, по крайней мере, часть популяции выживет. Графически  должен зависеть от  так, как показано на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10. Новая модель с

.

Функция с таким графиком имеет вид

. Экспонента в этой формуле обеспечивает экспоненциальное убывание, когда движемся по графику горизонтально отдаляясь от начала координат, в то время как коэффициент  вызывает начальный подъем на графике вблизи начала координат.

Модель

 иногда называют дискретной логистической моделью или моделью Рикера. Такая модель роста популяции, названная в честь её первооткрывателя Билла Рикера, была предложена в далёком 1954 году. Легко вычислить точки равновесия модели, ими являются  и . Можно дополнительно проанализировать эту модель, нарисовав паутинную диаграмму и вычислив стабильность равновесий, как делалось неоднократно в предыдущих разделах.

Можно возразить против подхода к моделированию в формате «кролик из шляпы»; без объяснений, откуда взялось уравнение модели Рикера. Но ниже будет дано одно пояснение, важно понимать, что действительно важно, так это то, какие качественные изменения демонстрирует функция на графике, насколько реалистично такое поведение. Если странная формула дает нужный график, то этого уже достаточно для оправдания ей использования.

Для более полного обоснования адекватности модели Рикера вернемся к графику функции изменения численности населения на душу населения

 как функции от , что в свою очередь стимулировало развитие логистической модели. Единственная причина выбора формулы

 заключалась в моделировании нисходящей тенденции, показанной на рисунке 1.1.

Как улучшить такую модель? Во-первых, изменение численности населения на душу населения не может быть меньше -1, потому что это будет означать более одной смерти на душу населения, но «Расстреливать два раза уставы не велят». Это означает, что график должен больше походить на рисунок 1.11.

Рисунок 1.11. Темпы роста на душу населения для новой модели.

Поскольку график выглядит как экспоненциально убывающая кривая, перемещенная вниз на одну единицу, это приводит к следующей формуле:

, при некоторых положительных значениях  и . Чтобы получить классическую формулу из модели Рикера, выполним замену переменных. Пусть  и , тогда с новыми параметрами  и  модель принимает вид . Теперь элементарными преобразованиями можно прийти к формуле Рикера: . В этой формуле  как и прежде следует интерпретировать как пропускную способность или грузоподъёмность логистической модели, потому что если , то ; а если , то . Конечная внутренняя скорость роста, однако, равна , а не просто , хотя для достаточно малого  эти величины примерно одинаковы.