Для создания структурированных моделей сосредоточимся на линейных моделях. Даже не прибегая к нелинейным формулам, можно получить представление о том, как могут вести себя популяции с различными возрастными группами или стадиями развития. В конечном счете увидим, что поведение этих новых линейных моделей очень похоже на экспоненциальное возрастание и убывание линейной модели из предыдущей главы, с некоторыми важными и интересными нюансами.

Основная идея моделирования, которую используем, проста. Вместо того, чтобы складывать размер всей популяции, отслеживая одну величину, не обращая внимания на возраст или стадию развития, будет рассматриваться несколько различных величин, таких как количество взрослых и количество детенышей, количество выпускников и количество абитуриентов. Однако ограничимся использованием очень простых уравнений.

Пример. Предположим, что рассматривается гипотетическая популяция с тремя стадиями жизни: яйцо, личинка и взрослая особь (соответственно абитуриент, бакалавр и магистр математического образования). Наша условная популяция такова, что особи прогрессируют от яйца к личинке за один промежуток времени, а от личинки к взрослой особи за другой. Наконец, взрослые особи откладывают яйца и отмирают на следующем этапе (находят своё призвание в другой области и не трудоустраиваются по специальности). Чтобы формализовать это, обозначим за

 количество яиц в момент времени , за  количество личинок в момент времени , за  количество взрослых особей в момент времени .

Предположим, после сбора данные обнаруживается, что только 4% яиц выживают, чтобы стать личинками, только 39% личинок доживают до взрослой жизни, а взрослые особи в среднем производят по 73 яйца. Это может быть выражено тремя уравнениями:

, , .

Система из трех разностных уравнений является моделью популяции насекомых. Обратите внимание, поскольку уравнения не содержат более сложных операций, чем те, которые используются при написании уравнении прямой, оправданно называть эту модель линейной. Также обратите внимание, если захотим использовать эту модель для прогнозирования численности будущих популяций, понадобятся три начальных значения,

,  и , по одному для каждой стадии. Поскольку три уравнения связаны между собой (ведь популяция одной стадии развития появляется в формуле, дающей будущую популяцию другой стадии), эта система разностных уравнений несколько сложнее, чем линейные модели из предыдущей главы.

Вопросы для самопроверки:

– Приведенный пример может быть фактически описан моделью

, где  – количество взрослых. Объясните, почему?

Конечно, если поймем, что

 описывает данную популяцию, то сразу узнаем, что популяция будет расти экспоненциально, увеличиваясь в 1.1388 раза на каждые три временных интервала.

Пример. Повторно рассмотрим приведенный выше пример, но предположим, что вместо того, чтобы умереть (уйти из профессии), 65% взрослых выживают на протяжении дополнительного временного шага (работают вплоть до пенсии и далее). Тогда модель становится немного сложнее:

, , .

Опять же, правомерно называть эту модель линейной, так как все члены имеют первую степень. Однако из-за произведенной модификации уже не ясно, как выразить рост популяции одним уравнением. Очевидно, изменение модели должно привести к еще более быстрому росту популяции. Взрослые особи, которые живут дольше, могут производить больше яиц, производя еще больше взрослых особей, которые выживают дольше, и так далее. Однако новые темпы роста отнюдь не очевидны.

Пример. Предположим, нас интересует лес, состоящий из двух видов деревьев, где

 и  обозначают количество каждого вида в лесу в год  (дубы и берёзки, аналогично физики и математики, информатики и технологии). Когда дерево умирает, на его месте растет новое дерево, но новое дерево может быть любого вида. Чтобы быть конкретным, предположим, что деревья вида  относительно долго живут, и только 1% умирает в данный год . С другой стороны, деревьев вида  погибает 5%. Поскольку они быстро растут, деревья , однако, с большей вероятностью преуспеют в завоевании свободного пространство, оставленного мертвым деревом; 75% всех свободных мест достаются деревьям вида , и только 25% достаются деревьям вида . Все это можно выразить с помощью равенств , .

Вопросы для самопроверки:

– Объясните смысл каждой операции в этих уравнениях.

После упрощения модель представляет собой систему из двух линейных разностных уравнений

,

.

В отличие от предыдущих двух примеров, нет очевидного предположения о том, как будут вести себя популяции, смоделированные этими уравнениями.

Чтобы прийти к пониманию, предположим, что популяция начинается с

 и . Эти начальные значения численности популяции могли бы описывать лес, в котором большинство деревьев  были выборочно вырублены ранее. Что произойдет с популяцией с течением времени? Компьютерный эксперимент показывает результаты в таблице 2.1.

Таблица 2.1. моделирование леса

Год

0 10 990

1 22.30 977.70

2 34.35 965.65

3 46.17 953.83

4 57.74 942.26

5 69.09 930.91

… … …

10 122.50 877.50

… … …

50 401.04 598.96

… … …

100 543.44 456.56

… … …

500 624.97 375.03

… … …

1000 625 375

… … …

В этой таблице показано довольно интересное поведение популяции; похоже, что численность приближается к равновесию, с 625 деревьями вида

 и 375 вида . Фактически, как можно видеть на рисунке 2.1, если бы начали с любого другого неотрицательного выбора  и , численный эксперимент показал бы аналогичное движение к точно такому же соотношению численности деревьев  к численности деревьев . То, что лес приблизится к стабильному распределению двух видов деревьев в отношении , не очевидно из уравнений. Еще менее понятно, почему стабильное распределение находится именно в таком соотношении. Чтобы начать понимать поведение моделей, подобных приведенной выше, нужно использовать несколько вспомогательных математических инструментов.