Хотя линейные модели и имеют широкое применение, выходящее за рамки моделирования популяций, существует несколько важных приложения именно линейной алгебры для моделирования популяций. В этом случае матрицы перехода часто имеют довольно хорошую структуру, поскольку существуют естественные способы разбиения популяции на подгруппы по возрасту или стадии развития.

Проиллюстрируем сказанное на примере модели Лесли. Суть необходимости использования этой модели в том, что у некоторых видов темпы размножения очень индивидуальны. Например, рассмотрим две разные популяции людей с одинаковой общей численностью. Если бы в одной присутствовали в основном люди в возрасте старше 50 лет, а в другой в основном 20-летние, то ожидались бы совершенно разные скорости роста популяций. Очевидно, что возрастная структура населения имеет важное значение.

Люди развиваются достаточно долго до момента полового созревания, на всём протяжении этого времени размножение не происходит. После полового созревания различные социальные факторы препятствуют или поощряют деторождение в определенном возрасте. Наконец, менопауза ограничивает размножение пожилых женщин.

Чтобы смоделировать влияние возраста на скорость роста населения, можно начать моделирование популяции людей с создания пяти возрастных групп:

 – численность лиц в возрасте от 0 до 14 лет в момент времени ;  – численность лиц в возрасте от 15 до 29 лет в момент времени ;  – численность лиц в возрасте от 30 до 44 лет в момент времени ;  – численность лиц в возрасте от 45 до 59 лет в момент времени ;  – численность лиц в возрасте от 60 до 75 лет в момент времени . Хотя предложенная формализация допускает нереалистичное предположение о том, что никто не выживает после 75 лет, но этот недостаток, конечно, может быть исправлен путем создания дополнительных возрастных групп. Используя временной шаг 15 лет, можно описать всю популяцию с помощью следующих пяти линейных уравнений: , , , , .

 Здесь

 обозначает коэффициент рождаемости (за 15-летний период) для родителей в – й возрастной категории, а  обозначает выживаемость для тех, кто находится в – й возрастной категории, переходящих в – вую категорию. Поскольку одна пара родителей может оказаться в разных возрастных группах, нужно отнести половину их потомства к каждой группе при выборе значений . В матричной записи модель упрощается до линейной , где  – вектор столбец размеров возрастных подгрупп в момент времени  и  – матрица перехода.

Можно ожидать, что

 будет меньше, чем , потому что скорее всего меньше детей родят в возрасте от 0 до 15 лет, чем от 15 до 30 лет. Однако, в течение определенного периода времени подростки в возрасте от 0 до 15 лет фактически стареют на 15 лет; поэтому рождаемость у таких родителей, вероятно, не так мала, как можно было бы подумать. Также возможно, что некоторые из  равны нулю; например, очень старые могут не воспроизводиться.

Вопросы для самопроверки:

– Если бы данные были собраны, какое из чисел

, по вашему мнению, было бы самым большим? Какой из них будет самым маленьким? Как это может варьироваться в зависимости от того, какая конкретная популяция моделируется?

– Каковы разумные значения для

? Какие из них, вероятно, будут самыми большими? А какие будут наименьшими?

Конечно, можно улучшить модель, используя больше возрастных групп меньшей продолжительности, например, 5 лет или даже 1 год, и добавив дополнительные возрастные группы для тех, кто старше 75 лет. Для людей возрастные категории продолжительностью 15 лет слишком длинны для большой точности. Демографы часто используют 5-летние группы и отслеживают людей в возрасте до 85 лет, что приводит к матрице размером 17 x 17.

С улучшенной моделью матрица была бы больше, но она все равно имела бы ту же форму: верхний ряд имел бы информацию о плодовитости, ряд под диагональю имел бы ключевую информацию, а все остальные элементы равнялись бы нулю. Модель, матрица перехода которой имеет такую форму, называется моделью Лесли.

Пример. Модель Лесли, описывающую население США в 1964 году, сформулировали Кейфиц и Мерфи в 1967 году. Отслеживая только численность женщин и, следовательно, игнорируя рождение мужчин при расчете урочная рождаемости. Было использовано 10 возрастных групп продолжительностью по 5 лет каждая. Верхняя строка матрицы состояла из чисел (0.0000, 0.0010, 0.0878, 0.3487, 0.4761, 0.3377, 0.1833, 0.0761, 0.0174, 0.0010), в то время как под диагональю находились значения (0.9966, 0.9983, 0.9979, 0.9968, 0.9961, 0.9947, 0.9923, 0.9987, 0.9831).

Вопросы для самопроверки:

– Что означает тот факт, что первый элемент под диагональю меньше второго? Какие возможные объяснения этому?

– Почему седьмое число под диагональю может быть меньше, чем числа по обе стороны от него? Какую возрастную группу описывает это число?

– Почему разумно включать в эту модель только женщин в возрасте до 50 лет?

Следующая модель называется моделью Ашера. Эта модель является небольшой вариацией модели Лесли, в ней на диагонали могут лежать ненулевые значения. Например, вернёмся к вышеописанной 5x5-матричной модели, продолжая использовать 15-летние возрастные группы, но сделаем шаг времени равный 5 годам. В то время как некоторые люди из одной группы перейдут в следующую группу, другие останутся там, где они были. В результате получается матрица перехода следующего вида:

с параметрами

, описывающими нарушения развития – той возрастной группы, часть которой остается прежней при переходе к следующему временному периоду. Обратите внимание, что значения записей  и  будут отличаться от тех, которые были выше в модели Лесли, так как размер приращения по времени был изменен.

Возможно, более естественным примером использования модели Ашера в математическом образовании является модель, основанная на трёх уровнях обучения, через которые проходит студент высшего учебного заведения. Например, для освоения физико-математической направленности, у студентов уходит по несколько лет на преодоления каждой стадии, а также может изменяться индивидуальная образовательная траектория, основанная на трехступенчатой модели с бакалавриатом, магистратурой и аспирантурой математического образования. Матрица Ашера, которая могла бы описать такую популяцию примет вид

.