Но представьте, что заинтересованы в вычислении популяций на предыдущем временном шаге. Если знаем

 и , как найти ? Другими словами, можно ли отматывать численность популяции назад во времени, если известна матрица  , описывающая, как меняются значения при протекании времени вперед?

Если бы

 был скаляром, а не матрицей, знали бы, как это сделать. Просто «разделили» бы с обеих частей уравнения  на  , чтобы решить его относительно . Остаётся придумать, что значит «деление на матрицу».

Можно подумать об этом следующим образом: на что умножить обе части уравнения

 с левой стороны, чтобы быть исчезло  в правой части? Предположим, существует матрица  такая, что после умножения на неё получается равенство . Для избавления от , нужно, чтобы результат матричного произведения  исчез из уравнения, как-то сократился. Очевидно, что  будет матрицей размерности , и обойти это невозможно. Тем не менее, существует – матрица специального вида, которая подходит на роль нейтрального по матричному умножению элемента.

Определение. Единичная

– матрица имеет вид . В общем случае, единичная – матрица – это квадратная матрица , элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные элементы равны 0.

Обратите внимание, что в задаче 2.1.1. (в-г) такие матрицы были нейтральны по умножению, то есть вели себя как число 1 в обычной алгебре со скалярами. Умножение любого вектора на единичную матрицу с любой стороны оставляет этот вектор неизменным. Можно проверить, что для любой матрицы

 имеют место равенства .

Возвращаясь к попытке моделирования численности популяции при переходе назад во времени, получаем

 , поэтому, если выбрать  так, чтобы , то уравнение становится разрешимым: . Другими словами, удастся решить уравнение относительно , вычислив .

Определение. Если

 и  являются квадратными – матрицами и , то говорим, что  является обратной к  и используем обозначение .

Не будем доказывать здесь, но можно показать, что для квадратных матриц если

, то . Таким образом, если  является обратной для , то  обратная для .

Прежде чем научиться вычислить обратную матрицу, проанализируем, всегда ли такая матрица будет существовать. Например,

, поэтому . С другой стороны, если , то  необратима. Чтобы понять это, посмотрите на  . Невозможно заполнить пропущенные места в верхней строке левой матрицы так, чтобы верхняя левый элемент первой строки в произведении оказался равен 1. Из-за нулевого столбца в  верхний левый элемент произведения всегда будет равным 0. Этот пример показывает, что некоторые матрицы необратимы.

Попытка найти обратную матрицу в общем случае даст больше понимания проблемы. Зададимся вопросом, чем заполнить матрицу в уравнении

.

Сосредоточившись на правом верхнем элементе произведения, легко получить там ноль, поместив

 и  в верхнюю строку искомой матрицы. Чтобы получить ноль в нижнем левом элементе произведения, можно поставить  и  в нижнем ряду. Это приводит нас к равенству . Теперь, чтобы получить 1 по диагонали, достаточно просто нужно разделить каждый элемент левой матрицы на . Таким образом, . Число  имеет специальное название:

Определение. Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы

 второго порядка называется число , которое обозначается как  или .

Формула для обращения квадратной матрицы второго порядка теперь выглядит следующим образом: если

, то .

В общем случае обращение матрицы происходит по формуле

, то есть на определитель делится матрица, транспонированная к присоединённой. Транспонирование осуществляется путём замены строк матрицы её столбцами, а для нахождения – элемента – й строки – го столбца в присоединённой матрице вычисляется алгебраическое дополнение к элементу – й строки – го столбца исходной матрицы. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со знаком . А минором называется определитель матрицы, получаемой из исходной путём вычёркивания из неё – й строки и – го столбца.

Пример.

.

Поскольку не каждая матрица имеет обратную, невозможно найти универсальную формулу для обращение любой матрицы. Иногда что-то будет мешать. Глядя на формулу, видим, что она не имеет смысла, при

. На самом деле, не будем доказывать это, но если , то  не имеет обратной. Другими словами, чтобы найти обратную матрицу 2 x 2, можем просто попытаться использовать вышеописанную формулу. Если формула неприменима, то матрица не имеет обратного. Резюмируем сказанное следующей теоремой.