Шрифт:
Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю.
Пример. Матрица
Для матриц размерности 3 x 3 и выше, ручное вычисление обратной матрицы (если она существует) через детерминант очень громоздко. Несмотря на то, что задача алгоритмически разрешима и хорошо распараллеливается процесс вычисления по формулам обращения любой квадратной матрицы, они слишком сложны, чтобы быть полезными с практической точки зрения. Поэтому обратные матрицы обычно вычисляются с помощью другого метода, называемого методом Гаусса-Джордана, который преподается на курсах линейной алгебры. Для нужд математического моделирования громоздкие операции с большими матрицами выполняются средствами программного обеспечения, такого как MATLAB, чтобы ускорить вычисления.
Однако важно помнить, что не каждая матрица будет иметь обратную. Если попытаетесь вычислить значение, когда его не существует, MATLAB сообщит об этом. К счастью, большинство квадратных матриц обратимы. По этой причине необратимые матрицы называются особенными, сингулярными или вырожденными.
Вернемся к первоначальной проблеме нахождения обратной матрицы.
Пример. Для леса, моделируемого в разделе 2.1, предположим, что в момент времени
Задачи для самостоятельного решения:
2.2.1. Первый раздел настоящей главы начинается с двух примеров моделей популяции. Является ли каждая из них моделью Лесли? Является ли каждая из них моделью Ашера? Объясните, почему, описав форму матриц перехода для них.
2.2.2. В MATLAB создайте матрицу Лесли для модели численности населения, описанной с помощью команд
sd=[0.9966, 0.9983, 0.9979, 0.9968, 0.9961, …
0.9947, 0.9923, 0.9987, 0.9831]
P=diag(sd,-1)
P(1,:)=[0.0000, 0.0010, 0.0878, 0.3487, 0.4761, …
0.3377, 0.1833, 0.0761, 0.0174, 0.0010]
Для нескольких вариантов начальных значений популяции постройте графики популяции в течение следующих 10 временных шагов. Опишите свои наблюдения.
2.2.3. Без помощи компьютера найдите определители и обратные матрицы для следующих матриц
inv(A)
det(A)
2.2.4. При помощи компьютера найдите определители и обратные матрицы для
2.2.5. Простая модель Ашера в пройденном параграфе описывает незрелые и зрелые группы, задаётся матрицей
а. Сколько рождений в среднем доступно каждому члену зрелой группы за один временной интервал?
б. На сколько процентов уменьшается численность каждой группы в каждом временном интервале?
в. Предполагая, что незрелые не способны размножаться с течением времени, каково значение верхнего левого элемента матрицы
г. Что означает левый нижний элемент матрицы
2.2.6. Для модели из предыдущей задачи:
а. Найдите
б. Пусть
2.2.7. Предположим, что структурированная популяционная модель имеет матрицу перехода
а. В чем смысл матрицы
б. В чем смысл матрицы
в. Основываясь на ответах из частей (а) и (б), объясните, почему
2.2.8. Модель, которую предложил Каллен в 1985 году, данные для которой собрали Неллис и Кит в 1976 году, описывает популяцию койотов. Динамика возрастных групп – щенок, сеголетка и взрослая особь – описывается матрицей