Теперь, когда пришло понимание, как выразить вектор начальных значений через собственные векторы, возникает естественный вопрос, где использовать это выражение? Пусть

– матрица  имеет  собственных векторов , чьи собственные значения равны  соответственно. Представим начальный вектор  как . Тогда получим, . Но каждый член последнего выражения представляет собой результат умножения матрицы  на собственный вектор, поэтому .

Теперь

, и поскольку каждый член это опять-таки результат умножения матрицы  на собственный вектор, получим . Продолжая умножение на , получаем общую формулу .

Понимание природы собственных векторов позволило найти формулу для вычисления значений

 в любой момент времени . Обратите внимание на сходство этой формулы с соответствующей для мальтузианской модели главы 1. Хотя есть несколько слагаемых, по своей совокупности каждое из них имеет простую экспоненциальную форму, которая уже знакома.

Пример. Для популяции, возникающей в ходе численного эксперимента с моделью леса, ранее уже представлялся

. Теперь можно спокойно вычислить значение вектора  при любом наперёд заданном .

Таким образом, найдена формула, дающая значения любой из строк в таблице 2.1, которые изначально получались в результате громоздких вычислений. Попробуйте выбрать несколько произвольных значений

, чтобы убедиться в том, как получаются ровно те же результаты, которые ранее были занесены в таблице. Отметим также, что выведенные формулы дают возможность ясно понять, как именно популяция приближается к равновесию в точке  по мере роста значений .

Как это работает? Что касается собственного вектора, то его умножение на матрицу такое же, как умножение на скаляр (собственное значение). Таким образом, начальные значения, заданные собственными векторами, будут иметь легко прогнозируемое поведение (экспоненциальный рост или спад). Если разложить любой начальный вектор на собственные векторы, то можно понять влияние модели на исходный вектор через его влияние на собственные векторы, как на своеобразные новые базисные вектора линейного пространства, преобразуемого матрицей перехода в данной модели.

Зададимся вопросом асимптотического поведения модели. Зная матрицу перехода

 в линейной модели  и зафиксировав вектор начальных значений , можно найти явную формулу для вычисления значений : если  являются собственными значениями  соответствующими собственным векторам , можно выразить  в виде линейной комбинации  и найти .

Эта форма записи

 дает исчерпывающую информацию о модели. Предположим, например, что все  удовлетворяют неравенству; тогда, степени  стремятся к 0, а численность популяции  также устремлена в по мере увеличения . С другой стороны, если хотя бы для одного  имеем  и соответствующий множитель , то  будет иметь слагаемое экспоненциального роста. Также видим, что отрицательное значение  должно производить некоторую форму колебательного движения, потому что его значение чередуется по знаку. Внимательный анализ формулы таким образом показывает, что собственные значения матрицы перехода в действительности являются ключом к качественному описанию поведения модели.

Определение. Собственные значения матрицы

, которые являются наибольшими по абсолютной величине, называются доминирующими собственными значениями матрицы . Соответствующий им собственный вектор называется доминирующим собственным вектором.

Обратите внимание, на множественное число доминирующих собственных значений в определении, потому что несколько собственных значений могут иметь одинаковое абсолютное значение. Если существует собственное значение, абсолютное значение которого строго больше всех остальных (например,

 для всех ), говорим, что он строго доминирует.

Перенумеровав собственные значения таким образом, чтобы

 было доминирующим, получим выражение .

Предполагая, что

 является строго доминирующим, получим  для всех . Так как увеличение  уменьшает все слагаемые, за исключением первого, отбрасывание стремящихся к нулю слагаемых показывает, что поведение вектора  аппроксимируется .