Шрифт:
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю и если этот предел существует
Знание углового коэффициента касательной к графику функции позволяет ответить на некоторые вопросы при исследовании функции.
Значение производной функции y = f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0:
f'(x) = k.
Если производная функции y = f(x) в точке x0 равна нулю, то касательная, проведенная к графику этой функции в точке с абсциссой x0, параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg ?, то
f'(x0 ) = tg ?.
Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a;b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f(x1) < f(x2).
Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1 < x2, справедливо неравенство f(x1) > f(x2).
Точка xmax области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) < f(xmax). Значение ymax = f(xmax) называется максимумом этой функции.
Точка xmin области определения функции называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) > f(xmin). Значение ymax = f(xmin) называется минимумом этой функции.
7.2. Примеры заданий и методика их выполнения
Условие
На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке x = 1.
1) 0,75
2) –0,2
3) 3
4) –5
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение
Данное задание можно решить наглядно, найдя значение производной. Затем учесть, что оно равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg ?, то мы можем достроить все прямые до прямоугольного треугольника и найти тангенс угла наклона: