Расположеніе угломъ достигалось благодаря тому, что произведеніе простыхъ единицъ отодвигалось вправо, а остальные разряды писались симметрично вверху и внизу. Вотъ форма угла при умноженіи 456 на 97.

Первое произведеніе 36 составилось изъ множителей 4 и 9, второе — изъ 5 и 9, третье — изъ 6 и 9. Такимъ образомъ, мы помножили на десятки и начали дйствіе въ этомъ случа съ сотенъ множимаго; дале умножаемъ на единицы, но ведемъ уже въ обратномъ порядк, именно, начинаемъ съ единицъ множимаго и постепенно добираемся до его сотенъ.

14. Четырнадцатый способъ—ромба. Онъ еще замысловате, чмъ предыдущіе. Нужна особенная внимательность, да и знаніе секрета, какъ составлять ромбъ. Если помножить 456 на 397, то ромбъ можетъ получиться слдующимъ путемъ. Вверху пишется произведеніе 4 сотенъ на 7 единицъ, подъ нимъ произведеиіе 5 десятковъ на 3 сотни и на 7 единицъ; въ длинной строк помщается 4 с. x 3 с., 5 дес. x 9 дес. и 6 ед. x 7 ед.; дале располагаются и остальныя произведенія. Все это очень сбивчиво и неудобно, даетъ массу ошибокъ въ вычисленіи, которыя найти потомъ такъ нелегко, что лучше все бросить и сдлать снова. Съ непривычки дло долго не клеится, отвта не выходитъ, но, зато, въ конц ученикъ иметъ право похвастать: у него получился ромбъ.

15. До сихъ поръ мы подписывали отдльныя произведенія внизу подъ множимымъ и множителемъ, и на это, конечно, у насъ была причина, потому что вс люди начинаютъ писать съ верхней стороны листа и постепенно спускаются книзу, гд мсто свободное, неисписанное. Но отвтъ получится одинаково врный и въ томъ случа, если, не жаля бумаги, мы начнемъ дйствіе пониже и оставимъ мсто для отдльныхъ произведеній выше производителей. Получится у насъ такъ:

Способъ этотъ указалъ Глареанъ въ ХIІ в. Вычисленіе начинается справа, съ низшихъ разрядовъ; отвтъ въ самомъ низу.

16. Шестнадцатый способъ очень сходенъ съ предыдущимъ и является его предшественникомъ по времени, такъ какъ образовался въ XV вк. Его даетъ ученый арабъ Алькальцади изъ Андалузіи Особенность въ немъ та, что множимое переписывается нсколко разъ и притомъ столько разъ, сколько цифръ во множител. И еще есть особенность: множитель не стоитъ подъ множимымъ, а располагается выше его; кром того, отдльныя произведенія разсяны по разнымъ строкамъ.

Множимое, повидимому, передвигается за тмъ, чтобы не сбиться, какой разрядъ множить на какой. Впрочемъ, выгоды отъ этого передвиженія особенной не представляется.

17. Въ высшей степени искусственная запись встрчается у Баскары, индусскаго автора, жившаго въ XII вк. Это та же ршетка, что и въ 5 способ, но только съ полными цифрами, безъ всякаго пропуска и сокращенія. У итальянцевъ она называлась «gelosia», по образцу фигурныхъ ршетокъ, бывшихъ въ окнахъ средневковыхъ теремовъ.

Множимое 456 мы пишемъ вверху, множителя 97 съ лвой стороны. Каждый разрядъ числа 456 множится на каждый разрядъ 97-ми. Всего образуется 6 отдльныхъ произведеній. Ихъ мы пишемъ полностью по клткамъ, такъ, чтобы всякое произведеніе стояло противъ тхъ разрядовъ, отъ которыхъ оно получилось; напримръ, шестью семь 42, ставимъ это число подъ 6-ю и притомъ въ верхней строк, потому что множитель 7 стоитъ въ этой строк съ лвой ея стороны, 2 помщаемъ въ верхнемъ правомъ углу клтки, а 4 десятка въ нижнемъ лвомъ. Такъ же ведемъ дйствіе и съ остальными разрядами. Чтобы получить отвтъ, стоитъ только сложить числа въ діагональномъ порядк наискось: 2 единицы сносимъ, 5+4+4 = 13 десятковъ, изъ нихъ 3 пишемъ; 8+3+5+5+1 = 22 сотни; 2 пишемъ; тысячъ будетъ 2+6+4+2=14, 4 пишемъ и, наконецъ, десятковъ тысячъ 3+1, всего 4. Искомое произведеніе выразится пятью цифрами: 44232. Способъ этотъ, какъ видно, очень сложный, фигурный и сбивчивый. Надо твердо помнить и хорошо привыкнуть къ тому, какъ чертится ршетка, какъ пишутся производители, гд помщаются отдльныя произведенія, и какъ читается отвтъ; стоитъ только немного не остеречься, забыть, и тогда вс разряды перепутываются, и никакъ нельзя будетъ отличить, гд единицы, гд десятки, и что складывать съ чмъ. Вообще это вовсе не дловой способъ и не школьный, а скоре плодъ математической изобртательности и развлеченіе въ математик, которая въ средніе вка была особенно суха и недоступна, а подобныя выдумки ее оживляли.

18. Арабъ Альнасави (XI в.) училъ умножать еще боле чуждымъ для насъ пріемомъ. Онъ тоже не допускалъ устнаго счета и тоже подписывалъ вс цифры сполна, но сверхъ того и въ сложеніи у него было отличіе, потому что отдльные разряды складывались не въ конц всего дйствія, а постепенно, по мр того, какъ они получались.

Множитель 97 пишется надъ множимымъ 456 такъ, что его высшій разрядъ, 9 десятковъ, стоитъ надъ простыми единицами числа 456. Вычисленіе начинается слва. 4x9 = 36, пишемъ 6 надъ четырьмя, а 3 рядомъ налво; 5x9=45, изъ нихъ 5 пишемъ рядомъ съ 6-ю, а 4 не подписываемъ надъ 6-ю, какъ это длали въ способ треугольника, но прибавляемъ къ 6-ти, будетъ 10, прибавляемъ къ 30, будетъ 40, эти цифры помщаемъ надъ 36-ю. Ведемъ умноженiе дале: 6x9-= 54, изъ этого 4 пишемъ надъ 9-ю, потому что нижнее мсто занято, а 5 прибавляемъ къ 5-ти, получится 10, нуль пишемъ надъ пятью, единицу—надъ нулемъ, именно тмъ нулемъ, который принадлежитъ числу 40. Такимъ-то образомъ сложеніе идетъ рука объ руку съ умноженіемъ, и когда вс умноженія окончатся, то окончится и сложеніе, и отвтъ представится самыми высшими цифрами въ каждомъ вертикальномъ столбц. Какъ видно, Альнасави допускаетъ особенность и въ множимомъ, именно онъ его еще разъ подвигаетъ и не только горизонтально, но такъ, что крайній разрядъ переставляется въ слдующую высшую строчку. Цль перемщенія та, чтобы единицы множимаго всегда приходились подъ тмъ разрядомъ множителя, на какой умножаемъ.

Альнасави заимствовалъ свой пріемъ у индусовъ; индусы же предпочитали устный счетъ письменному, не любили лишнихъ цифръ и. во всякомъ случа, не стали бы вычислять такъ растянуто, какъ это длаетъ Альнасави. У какого же индуса онъ его заимствовалъ? Или онъ самъ его такъ измнилъ? Объяснить это все можно такъ. Индусы вычисляли на песк и сейчасъ же стирали т цифры, которыя имъ не нужны, поэтому имъ было такъ легко передвигать множимое или множителя: они стирали прежнее и писали новое. Поэтому и мелкія сложенія и умноженія они писали только на одну минуту, и если имъ цифра не нужна, они ее сейчасъ за-мняли новой; такъ что, дйствительно, индусы не сбивались въ длинныхъ рядахъ цифръ и не запутывались, тмъ боле, что ихъ работ много помогалъ устный счетъ. Но арабы и Западная Европа переняли способы индусовъ, а примнять ихъ стали чаще всего на доскахъ и на бумаг, гд цифры перетирать совершенно неудобно; отъ этого и получилась масса лишняго письма, сбивчивость и трудность въ вычисленіяхъ. Не скоро поняли европейскіе математики, что не достаточно перенести чужой пріемъ къ себ, но надо еще примнить его къ своимъ условіямъ, и тогда онъ будетъ пригоднымъ и удобнымъ.

19. Во всхъ разобранныхъ нами 18-ти способахъ, какъ они ни сложны и ни разнообразны, существенный ыорядокъ дйствія все время остается тотъ же, везд дается 2 числа, множимое и множитель, и первое число, т.-е. множимое, помножается такъ или иначе на отдльные разряды множителя, сперва на его единиы, потомъ на десятки, сотни и т. д., или же, наооборотъ, раньше на сотни, а потомъ уже на десятки и единицы. Но нтъ ничего легче примнить другой порядокъ: не цлое множимое умножать на отдльные разряды множителя, а отдльные разряды множимаго на цлаго множителя. Такъ училъ индусскій авторъ Брамегупта (въ VII ст. по Р. X.).