Отвтъ у него помщается въ самомъ верху, данныя числа— внизу. Множитель переписывается столько разъ, сколько цифръ во множимомъ. Начинаемъ умножать 4 сотни на 97, получится 388 сотенъ, ихъ пишемъ надъ сотнями. Такъ же поступаемъ съ десятками и единiцами.

20. Самыми старыми первоначальными способами умноженія надо считать т, когда умноженіе замняется сложеніемъ. Умноженіе, конечно, и есть въ существ дла сложеніе, но только сокращенное, благодаря таблиц и вслдствіе равенства слагаемыхъ. Чтобы, на-примръ; умножить 9 на 27, можно бы 9 выписать 27 разъ и потомъ послдовательно складывать: 9 + 9 = 18, 18 + 9 = 27, 27 + 9 = 36 и т. д. до 243-хъ. Но такое сосчитываніе было бы слишкомъ продолжительнымъ, и вотъ здсь является на помощь таблица умноженія, которая значительно сокращаетъ работу; изъ таблицы намъ извстно, что 9 x 2 = 18, а слдовательно 90 x 2 = 180, да 9 x 7 = 63, всего составится 180 + 63 = 243. Такимъ образомъ мы замнили набираніе 27 слагаемыхъ боле простыми дйствіями, именно 2 умноженіями и однимъ сложеніемъ. Не сразу выработала ариметика такой простой и легкій путь, чтобы замнять сложеніе равныхъ слагаемыхъ умноженіемъ. Поэтому на первыхъ ступеняхъ ея развитія, при наглядномъ счет и при выкладкахъ на разныхъ счетныхъ приборахъ, преобладаетъ чистое сложеніе, а умноженіе является только урывками и проблесками. Едва къ концу среднихъ вковъ оно вполн вступило въ свои права.

Приведемъ образецъ вычисленій на римскихъ цифрахъ. Изъ него хорошо видно, насколько сложеніе преобладало надъ умноженіемъ и замняло его. Требуется, положимъ, СХХХХIIIІ умножить на XXX. Тогда дйствіе располагается слдующимъ образомъ:

С · Х = М

С · Х = М

С · Х = М

ХХХХ · XXX = МСС

XXX + XXX + XXX + XXX = СХХ.

Такъ какъ множитель XXX состоитъ изъ X + X + X, то достаточно повторить множимое сперва X разъ, потомъ еще X разъ, и, наконецъ, еще X разъ и полученные отвты сложить. Но когда мы начнемъ повторять X разъ, то множимое, въ свою очередь, разложится на отдльныя слагаемыя: С + X + X + X + X + IIII; и придется намъ каждое слагаемое перваго числа помножать на каждое слагаемое второго.

21. Двадцать первымъ способомъ будетъ такъ называемый „per aschapezza“. Въ перевод съ итальянскаго языка,—способъ чаще другихъ примняли итальянцы,—это значитъ способъ «разложенія». Примръ: 44x26. Для этого 26 разлагаемъ на какія-нибудь легкія cлагаемыя, обыкновенно однозначныя, въ род 3 + 4 + 5 + 6 + 8, и составляемъ пять произведеній: 44 · 3, 44 · 4, 44 · 5, 44 · 6, 44 · 8. Вс ихъ можно легко найти устно, и въ этомъ заключается преимущество подобнаго умноженія. Но иногда, забывая о главномъ условіи удобства, примняли этотъ способъ и тогда, когда онъ не даетъ никакого выигрыша ни во времени, ни въ письм. Хорошимъ примромъ такого теоретическаго пользованія разложеніемъ можетъ служить помщенный въ аріметик Брамегупты (VII в.): 235x288, съ разложеніемъ числа 288 на 9 + 8 + 151 + 120. Очевидно Брамегупта, выбирая такія неудобныя слагаемыя, не только не упростилъ діствія, а скоре усложнилъ и затруднилъ; но онъ, наврное, и не задавался цлью упростить и облегчить вычисленіе, а желалъ только представить новую форму умноженія.

22. Какъ мы уже сказали, замна умноженія сложеніемъ является самымъ легкимъ и простымъ пріемомъ и въ то же время самымъ старымъ и испытаннымъ. Египтяне за много столтій до Р. X. умли съ болышшъ искусствомъ, чрезвычайно свободно и остроумно пользоваться этой замной. Если, напримръ, имъ требовалось умножить на 17, то они сперва складывали множимое само съ собой и получали такимъ образомъ двойное число; его тоже складывали само съ собой, получали четверное число; четверное складывали съ четвернымъ, получали восьмерное; восьмерное съ восьмернымъ, получится 16 ть слагаемыхъ, а такъ какъ ихъ задано набрать 17-ть, то остается добавить только одно слагаемое и отвтъ будетъ найденъ. Подобнымъ же образомъ они могли, напримръ, вычислять 466 .13. Они составляли 466.2 = 932, 932.2 = 1864, 1864.2 = 3728, затмъ складывали восьмерное число съ четвернымъ и съ простымъ и получали 466 .13 = 3728 + 1864 + 466 = 6058. Такимъ путемъ египтяне умли добираться до сложныхъ результатовъ, хотя и медленно, но довольно врно и успшно. Изъ всхъ умноженій у нихъ было только одно удвоеніе; они даже не знали таблицы умноженія. Не они ли пришли къ мыели выдлить удвоеніе въ особое дйствіе, къ мысли, которая примнялась очень долго и едва въ ХУІ столтіи была оставлена, потому что съ этого времени удвоеніе вошло въ составъ вообще умноженія.

Покончимъ теперь на египтянахъ и не будемъ уходить дале въ глубь вковъ, тмъ боле, что у насъ нтъ фактическаго матеріала для этого. Подведемъ итоги всему. что сказали объ умноженіи. Оно начинается съ сложенія равныхъ слагаемыхъ и въ этомъ случа не пользуется никакими особенными правилами, сокращеніями и удобствами. Затмъ, благодаря практик, начинаетъ выдляться удвоеніе и оно образуетъ фундаментъ новаго дйствія—умноженія: по образцу удвоенія легко могли возникнуть другіе подобные разсчеты и удвоеніе натолкнуло на то, чтобы находить тройное число, четверное, десятерное и т. п. Вс эти употребительные случаи, повторяясь часто, привели къ таблиц умноженія и выдлили окончательно дйствіе умноженія изъ массы случаевъ сложенія. Тогда же начинается письменное производство этого дйствія, сначала въ грубой и несовершенной форм, при помощи абака и другихъ похожихъ на него пособій, съ многочисленными стираніями и измненіями цифръ; сложеніе отдльныхъ произведеній сначала шло попутно, вмст съ умноженіемъ разрядовъ, но потомъ его начали относить на самый конецъ и производить тогда, когда уже вс произведенія найдены. Въ старинныхъ способахъ умноженія устный счетъ почти не допускался, и вс цифры, какія надо, писались безъ пропуска, и въ ум ничего не удерживалось: такъ, по крайней мр, было въ Западной Европ въ средніе вка. Ближе къ нашему времени стали примнять и устный счетъ, начали помогать письму тмъ, что нкоторыя цифры удерживали въ ум, и такимъ то образомъ развился и принялъ окончательную отдлку нашъ современный нормальный способъ умноженія.

23. Индусы и Адамъ Ризе, и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцевъ это называлось «per repiego». Чтобы, напр., умножить 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемымъ 46 разъ, то онъ умножаетъ данное число на 9, полученный результатъ—на 5 и ко всему этому прикладываетъ еще одно, 46 слагаемое. Хорошо бы и намъ пользоваться почаще такими сокращеніями и пріучать къ нимъ своихъ дтей въ училищахъ. Есть, правда, во многихъ школахъ, особенно въ начальныхъ, спеціальныя занятія по устному счету, но, во-первыхъ, очень жаль, что они въ средней школ глохнутъ и не продолжаются, и, во-вторыхъ, они ведутся, обыкновенно, по шаблону и не столько развиваютъ личную сообразительность дтей, сколько пріучаютъ ихъ къ готовымъ формуламъ.

24. Другимъ хорошимъ способомъ, который тоже можетъ развивать сообразительность и помогать вычисленію, является слдующій. Множитель замняется новымъ числомъ, которое болыпе его въ нсколько разъ или на нсколько единицъ, и притомъ гораздо удобне для дйствія, чмъ самъ данный множитель. Напримръ, если намъ задано умножить какое-нибудь число на 25, то мы вмсто этого умножимъ на 100—такъ гораздо легче—и полученное отъ этого умноженія число раздлимъ на 4. Точно также, чтобы умножить на 98, мы можемъ умножить на 100 и изъ этого произведенія вычесть двойное множимое, потому что мы его взяли лишнихъ 2 раза. Оба эти пріема хороши для устныхъ вычисленій, они придуманы давно, еще индусами, но все еще не имютъ такого большого примненія на практик, какого заслуживаютъ по своей легкости и удобству.

25. Есть еще методъ умноженія многозначныхъ чиселъ, очень интересный и оригинальный. Онъ построенъ на совершенно иной руководящей мысли, чмъ нашъ настоящій методъ. Мы теперь интересуемся множимымъ и множителемъ, старательно подписывая ихъ другъ подъ другомъ или рядомъ, разлагаемъ ихъ на разряды и разсуждаемъ, съ которой стороны лучше начать; такъ что порядокъ вычисленія у насъ опредляется множимымъ и множителемъ, и наши заботы мало касаются произведенія, которое выходитъ какъ-то само собой, изъ сложенія частныхъ результатовъ. Наоборотъ, способъ «крестикомъ», о которомъ мы будемъ сейчасъ говорить, обращаетъ исключительно свое вниманіе на результатъ умноженія и изъ его разбора, а не изъ разбора данныхъ чиселъ, выводитъ порядокъ дйствія. Въ способ «крестика» надо сперва вычислить единицы произведенія, потомъ его десятки и притомъ сразу вс, какіе только могутъ оказаться, чтобы затмъ къ десяткамъ боле не возвращаться; потомъ надо вычислить сотни произведенія, опять-таки вс, какія только могутъ въ немъ быть; и такъ мы идемъ послдовательно отъ одного разряда къ другому. Еще греки любили пользоваться этимъ умноженіемъ и назвали его «хіазмомъ», потому что греческая буква хи «Х» какъ разъ своей фигурой напоминаетъ крестикъ.