Возьмемъ примръ сперва двузначный: 56x97 и поставимъ такой вопросъ: откуда могутъ получиться единицы произведенія? Очевидно, только отъ перемноженія простыхъ единицъ, потому что отъ умноженія десятковъ будутъ десятки, отъ сотенъ будутъ сотни и т. д. 6x7 = 42, слд. простыхъ единицъ въ отвт будетъ дв, не больше и не меньше. Итакъ, одну цифру мы нашли, она будетъ обязательно 2. Ршаемъ теперь второй вопросъ: откуда получаются десятки произведенія? Во-первыхъ, отъ умноженія десятковъ на единицы, во-вторыхъ, отъ умноженія единицъ на десятки и, кром того, нсколько десятковъ образовалось отъ перемноженія простыхъ единицъ. Больше ни откуда десятковъ получиться не можетъ, такъ какъ во всякомъ случа сотни и тысячи дадутъ по крайней мр сотни же и тысячи. Вычисляемъ десятки: 5x7 — 35, 9x6 = 54, да 4 десятка осталось отъ единицъ, всего составится ихъ 93; изъ этого 9 сотенъ пока замтимъ, а 3 десятка можемъ записать спокойно: это ужъ цифра окончательная. Высчитываемъ сотни. Въ нашемъ примр он могутъ получиться только отъ умноженія десятковъ на десятки и ихъ будетъ 45, да 9 сотенъ отъ десятковъ, всего 54 сотни. Пишемъ ихъ въ окончательномъ отвт и получаемъ: 56x97 = 5432. «Крестикъ» мы здсь примняли, когда составляли десятки произведенія, потому что въ этомъ случа мы умножали крестъ на крестъ 5 на 7 и 6 на 9. Все дйствіе можно изобразить такой фигурой:

5 6

X

9 7

————

5432

Чтобы читателю былъ ясне виденъ ходъ вычисленія, разберемъ еще трехзначныи примръ. Возьмемъ 467 X 893. Низшимъ разрядомъ въ произведеніи будутъ простыя единицы, а высшимъ—десятки ты-сячъ, потому что сотни, умноженныя на сотни, даютъ десятки ты-сячъ; всего, слдовательно, въ произведеніи будетъ 5 разрядовъ. Оііредляемъ ихъ постепенно. Прежде всего запишемъ данныя числа такъ, чтобы цифры стояли порже и между ними были свободные промежутки, э зачмъ,—это будетъ понятно дале.

Простыя единицы образуются отъ перемноженія простыхъ же единицъ; 7 x 3 = 21, единицу пишемъ и 2 въ ум. Десятки образуются отъ умноженія десятковъ на единицы и единицъ на десятки и дадутъ: 6 x 3 = 18, 9 x 7 = 63, да 2, всего 83, три пишемъ и 8 замчаемъ. Но мы пишемъ 3 десятка не подъ десятками, а въ промежутк между единицами и десятками: цль здсь та, чтобы сохранить полную симметрію въ расположеніи цифръ и строгій порядокъ, который не допустилъ бы насъ сбиться; дйствительно, какъ у насъ образовалась цифра единицъ и гд она подписана? Она образовалась отъ единицъ и подъ ними подписана:

7

3

—

1

.

Какъ образовалась цифра десятковъ и гд ее лучше всего подписать? На это отвтимъ мы такимъ чертежомъ:

6 7

x

9 3

———

 3

Цифра 3 стоитъ симметрично подъ тми цифрами, отъ которыхъ она получилась. Вотъ дале чертежи для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ:

Сотни высчитываются такъ. Он получаются отъ умноженія сотенъ на единицы, единицъ на сотни и десятковъ на десятки, будетъ 4.3 = 12, 7.8 = 56, 6.9 = 54, да отъ умноженія десятковъ осталось 8 сотенъ, всего ихъ составится 130, нуль пишемъ подъ чертой, а 13 тысячъ пока держимъ въ ум. Отыскиваемъ теперь тысячи нашего произведенія: он получаются тогда, когда сотни множатся на десятки и десятки на сотни, слд. 4x9 = 36, 6x8 = 48, да еще замченныхъ 13, и составится ихъ всего 97. Цифру 7 пишемъ подъ чертой. Легко, наконецъ, опредлить и десятки тысячъ: их будетъ 41.

Такимъ же образомъ можно умножить и всякія многозначныя числа, до пятизначныхъ, шестизначныхъ и выше. Симметрія руководитъ нами во всхъ этихъ примрахъ и не позволяетъ сбиться. Поэтому, если во множимомъ и во множител цифръ не поровну, напр., четырехзначное число берется съ двузначнымъ, то лучше всего приписать пару лишнихъ нулей и получить опять симметричную фигуру:

Индусы были въ восхищеніи отъ этого способа, часто имъ поль-зовались и умли умножать по этому способу очень быстро, за что и прозвали его «молніеноснымъ». Онъ вовсе не труденъ, если только научиться быстро складывать двузначныя числа; что онъ не нуждается въ большомъ письм и даетъ выигрышъ во времени, въ этомъ, конечно, нечего и сомнваться. Какъ было бы хорошо, если бы онъ, почти забытый посл индусовъ и грековъ, получилъ доступъ въ наши школы, распространился въ народ и оправдалъ свое названіе «молніеноснаго».

26. Закончимъ нашу бесду объ умноженіи объясненіемъ послдняго, въ высшей степени оригинальнаго пріема, который незнающаго наблюдателя можетъ даже поразить. Передаютъ, будто одинъ нмецкій школьный учитель показалъ дтямъ это умноженіе, а потомъ при постителяхъ спрашивалъ считать устно и приводилъ въ удивленіе быстротой счета, разумется въ томъ случа, если поститель не зналъ секрета.

Учнтель: «83x87!»

— Ученикъ: «80x90 = 7200 да 3-жды семь 21, всего 7221».

—Учитель: «24x26!»

—Ученикъ: «20x30 = 600, да четырежды шесть 24, всего 624».

— Учитель: «92 x 98!»

—Ученикъ «90 x 100 = 9000, да дважды восемь 16, всего 9016».

Секретъ, какъ видно, заключается въ томъ, что не всякій примръ годится для этого правила, а только такой, гд бы десятки въ обоихъ множителяхъ были одинаковыми, а единицы составляли въ сумм десять; такъ что если взять одинъ множитель, наприм., 41, то парнымъ къ нему множителемъ обязательно долженъ быть 49. Правило для подобныхъ примровъ слдующее: надо десятки помножить на слдующіе десятки (40x50=2000), а единицы просто перемножить (1x9 = 9) и все сложить: 2000 + 9 = 2009. Правило это далъ итальянецъ Тарталья (XVI в.), большой изобртатель разныхъ способовъ, и письменныхъ, и устныхъ.

Объяснимъ послдній примръ: 41x49. Какъ бы мы попросту стали его вычислять? Сперва 40 помножили бы на 40, потомъ 40 на 9, потомъ 1 на 40 и, наконецъ, 1 на 9. Намъ пришлось бы 40 повторить 40 разъ и 9 разъ и еще 1 разъ, потому что 1 x 40 все равно, что 40 x 1; такимъ образомъ 40 надо помножить на 50, да 1 на 9, всего 2009.

Подобные пріемы, дйствительно, даютъ при устномъ счет громадную выгоду и удобство. Смло рекомендуемъ ихъ вниманію любителей ариметики.