За исключеніемъ сложенія, при каждомъ дйствіи имется 4 по-врочныхъ числа, и они, обыкновенно, располагались такъ, что получалась фигура косого креста. Примръ: 525 раздлить на 15, получится въ частномъ 35. Тогда поврка представляется слдующимъ крестомъ:

 \ 3 /

6 \ / 8

/ \

/ 3 \

Нкоторые математики, приверженцы совершенной точности и полной безошибочности, находили, что поврка числомъ 9 далеко не безупречна и можетъ повести къ ошибкамъ. Зависть он могутъ отъ такихъ причинъ. Во-первыхъ, различныя по величин числа, но только отличающіяся другъ отъ друга на цлое число девятокъ, имютъ поврочныя числа одинаковыя; напр., числа 172 и 1081. Во-вторыхъ, этой повркой нельзя открыть пропуска нулей или же излишка нулей: числа 105, 1050, 15 даютъ одинаковыя поврочныя числа. Въ третьихъ, перестановка цифръ точно также не можетъ быть открыта этой повркой, такъ какъ, напр., числа 78932 и 87932 даютъ одинаковыя поврочныя числа. Итакъ, поврка числомъ 9 ненадежна. Поэтому, лучшіе авторы XVI—XVII в. рекомендуютъ еще поврку числомъ 7. Она основана на томъ же, на чемъ и предыдущая, и слд. при ней изъ данныхъ и иекомыхъ чиселъ выкидываютъ возможное число семерокъ, а съ остатками поступаютъ точно такимъ же образомъ, какъ и при поврк числомъ 9. Въ этомъ случа ужъ можно обнаружить и перестановку цифръ, и пропускъ нулей.

Казалось бы, что вполн достаточно поврки числомъ 9 и числомъ 7 для того, чтобы можно было успокоиться и убдиться, что отвтъ вренъ. Но нтъ, Рудольфъ и Апіанъ (въ XVI ст.) объясняютъ, что поврять можно такимъ же путемъ, какъ и выше, еще съ помощью чиеелъ 8, 4, 6.

Фишеръ (въ 1559 г.) провряетъ свои вычисленія числами 5, 6, 7, 8, 9, 11.

Но такое большое количество искусственныхъ поврокъ приводило многихъ авторовъ прямо къ отрицанію ихъ необходимости и пользы. Петръ Рамусъ, извстный французскій ученый и математикъ (ум. 1572 г.), говоритъ, что вс эти ухищренія излишни и ненужны, и что если кому требуется поврить дйствіе, то пусть онъ передлаетъ его снова и больше ничего; такъ будетъ лучше и въ томъ отношеніи, что, передлывая снова, мы можемъ не только открыть присутствіе ошибки, но и исправить ее.

Лука де-Бурго смотритъ на дло хладнокровне. Онъ не отрицаетъ совершенно проврки, но только совтуетъ длать ее, по возможности, проще. Именно онъ указываетъ для этого 2 способа. Во-первыхъ, можно то же дйствіе произвести еще разъ и только измнить его порядокъ, напр., при сложеніи нсколькихъ чиселъ, если мы сперва складывали сверху внизъ, то потомъ надо пересложить снизу вверхъ. Во-вторыхъ, всякое дйствіе повряется своимъ обратнымъ: вычитаніе сложеніемъ, дленіе умноженіемъ и т. п.

Вс предыдущія объясненія, которыя изложены до настоящей главы, касались счета и вычисленій, т.-е. тхъ умственныхъ отправленій человка, которыя составляютъ наиболе характерную и общую черту его природы.

Дйствительно, потребность считать привадлежитъ всмъ людямъ и составляетъ необходимую часть ихъ мышленія. Поэтому естественно, что и проявленіе этой всеобщей потребности и присущей всмъ способности тоже носитъ въ себ много общаго и неизмннаго у всхъ народовъ и во вс времена. Въ счет и вычисленіи нтъ мста произволу и очень мало мста для свободнаго выбора: все совершается по общему закону, предустановленному психической организацею человка. Не то мы видимъ въ измреніи и оеобенно въ выбор мръ. Вотъ ужъ именно «что городъ, то норовъ, что деревня, то обычай!» Каждое маленькое государство, каждый хоть немножко самостоятельный народъ, каждый городъ, каждый уголокъ стремится измрять своими мрами, да и т еще успваетъ перемнить нсколько разъ съ теченіемъ времени. Прослдимъ вкратц эту измнчивость мръ и постараемся извлечь изъ нея т немногія руководящія основанія, которымъ подчиняется выборъ мръ, а для этого возьмемъ отъ каждаго народа то, что боле всего примчательно.

Древній міръ признавалъ египтянъ творцами системы мръ. Еще въ доисторическія времена египтяне принимали 365 дней въ году; имъ же принадлежитъ введеніе високоснаго года въ 366 дней черезъ каждые 3 простыхъ, при чемъ установленіе это приписывается царю Канопу и относится къ 238 г. до Р. X. Оть египтянъ этотъ порядокъ былъ заимствованъ Юліемъ Цезаремъ и введенъ имъ во всемъ римскомъ государств, онъ же держится и у насъ теперь подъ именемъ юліанскаго лтосчисленія. Счетъ по недлямъ и по мсяцамъ точно также былъ извстенъ египтянамъ.

Вавилоняне замчательны тмъ, что они стремились объединить всю систему мръ и привести ее къ одной основной единиц. Эта глубокая мысль занимала потомъ многихъ математиковъ, цринадлежавшихъ къ различнымъ національностямъ, и нашла себ выраженіе только очень недавно, именно съ введеніемъ метрической систеиы мръ. Съ этой цлью вавилоняне пользовались особымъ священнымъ сосудомъ опредленныхъ размровъ, который они хранили въ надежномъ мст. Длина ребра этого сосуда принималась за единицу длины. Когда же этотъ сосудъ наполнялся водой, то всъ воды, вытекавшей изъ него въ опредленное время, принимался за единицу вса и назывался талантомъ; талантъ раздлялся на 60 минъ. Отъ вавилонянъ онъ перешелъ къ другимъ сосднимъ народамъ, напр., грекамъ, евреямъ, но при этомъ не всегда и не везд онъ сохранялъ свою первоначальную величину. Обыкновенный греческій талантъ всилъ слишкомъ 1 1/2 пуда и раздлялся на 6000 драхмъ.

Талантъ не особенно извстенъ, какъ мра вса, но зато онъ былъ очень распространенъ въ вид мры стоимости.

Это происходило потому, что въ древности монеты цнились по ихъ всу, и когда совершалась купля-продажа, то, обыкновенно, условливались, сколько надо отвсить за такую-то вещь золота, серебра или даже мди. Такимъ образомъ талантъ золота, т.-е. приблизительно 1 1/2 пуда золота, цнился при цар Давид въ 125 тысячъ рублей, въ перевод на наши монеты. Талантъ серебра при немъ же обошелся бы въ 2400 руб. Аттическій талантъ серебра цнился почти вдвое дешевле и доходилъ лишь до 1290 р. на наши деньги. Это случилось, врне всего, потому, что съ теченіемъ времени талантъ сталъ терять свое первоначальное значеніе вса и постепенно обращался въ монету, т.-е. съ нимъ получалось такое превращеніе: за талантъ принимался не кусокъ опредленнаго вса, а кусокъ съ клеймомъ «талантъ», при чемъ всу-то въ этомъ куск было мене противъ должнаго, и слд. монета являлась неполноцнной.

Слдуетъ отмтить еще интересное совпаденіе, которое доказываетъ, что историческія вліянія простираются гораздо глубже, чмъ можно бы предполагать съ перваго раза. Заключается оно въ томъ, что есть связь между монетами современныхъ намъ англичанъ и монетами древнихъ вавилонянъ. Вавилоняне чеканили изъ мины чистаго золота 60 шекелей, а за 1 шекель давали 20 драхмъ серебряныхъ монетъ. Англійскій же фунтъ стерлинговъ (золотая монета, иначе наз. соверенъ) равенъ по всу вавилонскому шекелю и содержитъ 20 шиллинговъ (шиллингъ—серебряная монета.) Такимъ образомъ, видно полное соотвтствіе между фунтомъ стерлинговъ и шекелемъ, а также между драхмой и шиллингомъ.