Изъ нихъ авторитетно вытекаетъ, что только небесное свободно отъ ошибокъ и обладаетъ совершенствомъ.

Понятна та осторожность и та боязнь, съ которой въ старину относились къ дробямъ. Это былъ труднйшій и запутаннйшій отдлъ ариметики. Не даромъ и сейчасъ у нмцевъ сохранилась поговорка «попасть въ дроби» (in die Br"uche gerathen), что совершенно равносильно нашему «стать въ тупикъ», т.-е. зайти въ такой проулокъ, выходъ изъ котораго застроенъ. Трудность увеличивалась и осложнялась, главнымъ образомъ, тмъ, что не принято было давать никакихъ объясненій, и вся старательность ученика направлялась на заучиваніе правилъ, безъ всякаго пониманія того, откуда эти правила вытекаютъ. Кстати, и самая глава о дробяхъ была мало разработана и представлялась неясной даже для составителей учебниковъ, потому что дроби то смшивались съ именованными числами, то принималисъ состоящими изъ 2 чиселъ—числителя и знаменателя. Въ понятіяхъ о дйствіяхъ надъ дробями была большая путаница, особенно, что касалось умноженія и дленія, да и сейчасъ въ наши дни этотъ туманъ не разсялся; напр., первые 2–3 года, пока ребенокъ учитъ цлыя числа, ему толкуютъ, что умножить значитъ увеличить въ нсколько разъ, а потомъ, когда онъ переідетъ къ дробямъ, его начинаютъ убждать, что умножить вовсе не значитъ увеличить. Между тмъ, какъ легко было бы устранить все это, если бы взглянуть на дло попроще и согласиться, что умножить въ цлыхъ числахъ значитъ взять слагаемымъ нсколько разъ, а въ дробяхъ—взять долю числа. Трудны были дроби прежде, нелегки он и теперь, а такъ какъ изученіе ихъ очень полезно и необходимо, то преподаватели старались и въ проз, и въ стихахъ ободрить своихъ учениковъ и цобудить ихъ пересилить трудности. Знаменитый римскій ораторъ Цицеронъ (въ 1 ст. до Р. X.) счелъ долгомъ сказать свое авторитетное слово по этому случаю: «sine fractionibus arithmetices peritus nemo esse potest»; это значитъ: «безъ знанія дробей никто не можетъ признаваться свдущимъ въ ариметик». То же самое встрчаемъ у нашего Магницкаго въ такихъ стихахъ:

Особенное уваженіе къ дробямъ свидтельствуетъ авторъ одной славянской рукописи XVII в. Именно, разсуждая о тройномъ правил, онъ говоритъ:

Разсмотримъ теперь подробно, какъ развилось ученіе о дробяхъ у различныхъ народовъ.

Древніе египтяне задались въ этомъ отношеніи чрезвычайно оригинальной мыслью. Они пользовались только такими дробями, у которыхъ числитель непремнно единица; вс остальныя дроби они считали неудобными для вычисленія и старались замнять ихъ этими основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц, такъ что когда египтянину требовалось произвести какое-нибудь дйствіе надъ дробями, то онъ сперва замнялъ данныя дроби основными, за-тмъ длалъ вычисленіе и уже въ конц-концовъ изъ ряда основныхъ дробей выводилъ одинъ общій отвтъ. Вс замны, которыя требовалось при этомъ длать, совершались при помощи обширныхъ таблицъ, спеціально заготовленныхъ на этотъ случай. Вотъ какъ начинаются эти таблицы:

Здсь между долями подразумвается, очевидно, сложеніе, такъ

Съ дробями, у которыхъ числитель больше двухъ, приходилось немало хлопотать, и составителямъ таблицъ досталось немало труда, напр., надъ разложеніемъ дроби 7/29. Ходъ вычисления такой:

При помощи такихъ таблицъ египтяне умли обходиться безъ приведенія дробей къ одному знаменателю; для этого они переводили слагаемыя въ основныя дроби на основаніи таблицъ, соединяли вс эти основныя дроби въ одну массу и потомъ смотрли, опять же руководствуясь таблицами, какой одной дроби равняется вся эта масса. Какъ составлялись подобныя таблицы? Точнаго отвта дать сейчасъ нельзя, тмъ боле, что они заимствованы изъ папируса Ринда, а этотъ папирусъ относится ко времени за 2000 лтъ до Р. X. Можно догадываться, что едва ли вс строки принадлежатъ одному составителю, врне всего отдльные результаты тщательно собирались въ общій сводъ, такъ что на нкоторые отвты приходилось наталкиваться случайно, при какихъ-нибудь другихъ вычисленіяхъ.

Такъ какъ египтяне пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц, то они, обыкновенно, вовсе и не писали числителя, а только подразумвали его, писали же одного знаменателя; но чтобы не смшать дробь съ цлымъ числомъ, они надъ цифрами знаменателя ставили точку. Изъ производныхъ же дробей разсматривалась только 2/3 у которой былъ свой знакъ, такъ что эта дробь принималась за какую-то особенную величину, не стоящую въ прямой связи ни съ цлыми числами, ни съ дробями.

Арабы, очевидно, подъ вліяніемъ египтянъ, раздляли дроби на «выговариваемыя» и «невыговариваемыя». Такіе термины встрчаются, напр., въ VIII—IX в. по Р. X. Выговариваемыми дробями были т, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ род нашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были вс остальныя, и, напрВыговариваемьши дробями были т, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ роднашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были вс остальныя, и, напр., 1/13 выражалась описательно такъ: одна изъ тринадцати долей; 1/30 такъ: шестая часть одной пятой.

Древніе греки часто вводили въ вычисленія дроби. Обозначали они ихъ такъ: сперва писали числителя и сверху справа ставили значекъ въ род запятой, потомъ дважды повторяли знаменателя и приписывали каждый разъ значокъ въ вид 2-хъ запятыхъ. Напр., 3/21= 'K'' K'', такъ какъ у грековъ обозначаетъ 3, а единицу, К двадцать. Однако чаще всего греки, по примру египтянъ и арабовъ, пользовались основными долями и при этомъ обыкновенно пропускали числителя, а знаменателя писали съ присоединеніемъ 2 черточекъ, и выходило, напр., что 1/21=K''. Если нсколько основныхъ дробей писалось подъ рядъ, то это значило, что ихъ надо сложить. Особенные знаки были для половины: (старинная греческая буква сигма) и для 2 третей: .

Индусы, въ лиц одной изъ древнйшихъ своихъ отраслей — доисторическаго племени Тамуловъ, выражали вс доли при помощи только 1/2 , 1/4 , 1/16, 1/40, 1/80, 1/960. Для которыхъ у нихъ были особенныя названія и знаки. Вс другія дроби они старались привести къ шести указаннымъ, и это имъ въ болыпинств случаевъ удавлось порядочно, такъ какъ комбинаціи этихъ долей даютъ почти цлую единицу.

У индусскаго математика Брамагупты (въ XI в. по Р. X.) имется довольно развитая система простыхъ дробей. У него встрчаются различныя дроби, и простыя и производныя, т.-е. съ числителемъ и 1, и любое число. Числитель и знаменатель пишутся такъ же, какъ у насъ, но только безъ горизонтальной черты, а просто ставатся одинъ подъ другимъ. Выше числителя помщается цлое число, если оно есть. И выходитъ по индусскому порядку {| | ||7 |- |5|| |- | |8 |}, а по нашему—57/8.