3) Слдующей попыткой къ упрощенію дленія является расчлененіе длителя на производителей; оно и теперь примняется съ большимъ успхомъ, особенно при устномъ счет; именно, чтобы раздлить, напр., на 8, можно раздлить данное число пополамъ, полученный отвтъ опять пополамъ и вновь полученный отвтъ еще разъ пополамъ. Для письменнаго вычисленія такой порядокъ особенно рекомендуется итальянцемъ Леонардо Фибонначи (около 1200 г. по Р. X.); при этомъ, въ случа дробнаго частнаго, у него получаетея рядъ дробей съ возрастающиии знаменателями.

Оригинальный пріемъ, основанный на той же иде, даетъ Апіанъ (XVI в. по Р. X.); у него проскальзываетъ нчто въ род десятичныхъ дробей, хотя въ его время теорія десятичныхъ дробей находилась въ самомъ зачаточномъ состояніи.

Положимъ, ему надо раздлить 11664 на 48; онъ сперва вычисляетъ 11664:6, потомъ отъ каждаго полученнаго разряда беретъ вооьмую долю, это легко достигается тмъ, что каждый разрядъ по-множается на 0125, такъ какъ 1:8=0,125. Все дйствіе можно представить въ такомъ вид.

Объясняется это вычисленіе слдующимъ образомъ. Длимъ 11 тыс. на 6, получаемъ 5 въ остатк и 1 въ частномъ; 5 пишемъ надъ 1, а единицу частнаго умножаемъ на 0125 и пишемъ прямо подъ чертой. Дале, 56 сот.: 6=9 сот. и 2 сотни въ остатк; остатокъ помщаемъ надъ 6-ю, а 9 надо умножить на 0125; для этого Апіанъ множитъ отдльно 0125 на 5 и на 4, получаетъ 0625 и 05; при записываніи цифра 5 у числа 0625 подвигается вправо за черту, потому что это будутъ уже не цлыя единицы, а только десятыг доли. Теперь 26 десятковъ надо длить на 6, будетъ въ частномъ 4 десятка; помножить 4 на 0125, получится 5—столько простых единицъ, ихъ пишемъ. Наконецъ, 24:6 — 4, 4x0125 = 5, это будутъ десятыя доли, и ихъ слдуетъ писать за чертой вправо. Остается сложить вс отдльныя частныя и тогда получится общій отвтъ 243.

4) Вс три предыдущихъ способа уступаютъ нашему, которымъ мы, обыкновенно, пользуемся: они трудне и длинне нашего. Но вотъ методъ Тиллиха, предложенный имъ въ 1806 г. Онъ уже вытекаетъ изъ нормальнаго пріема и стремится еще боле его усовершенство-вать. Суть его состоитъ въ слдующемъ. При дленіи на однозначное число, напр., на 3, не сносятъ остатковъ къ слдующему низшему разряду, а стараются раздлить каждый разрядъ вполн, хотя бы для этого пришлось воспользоваться и дробнымъ частнымъ. Согласно этому, дйствіе 56789:3 располагается такъ:

Прежде всего длится 5 дес. тысячъ на 3, на каждую часть придется по 1 2/3 дес. тысячъ, изъ этого 1 дес. тыс. сносится въ частное, а 2/3 дес. тыс. пока оставляются. Затмъ длимъ 6 тысячъ на 3, будетъ по 2 тысячи, ихъ такъ и пишемъ въ частномъ. Точно такимъ же образомъ 7 сот.: 3 = 2 1/3 сотни, 8 дес.: 3 — 2 2/3 дес и наконецъ 9:3 = 3. При этомъ вс цлые отвты сносятся въ частное, а дроби пока оставляются. Дроби эти приводятся къ нормальному виду слдующимъ путемъ. 2/3 десятка тысячъ дадутъ 6 тысячъ и 2/3 тысячи; эти 2/3 тысячи составятъ 6 2/3 сотни, да у насъ еще 1/3 сотни, всего получится 7 сотенъ, ихъ такъ и пишемъ. Останется только церевести 2/3 десятка въ единицы, будетъ 6 2/3 . Окончательный отвтъ составитъ 18929 2/3 .

Въ иныхъ примрахъ можно разбивать длимое на группы въ 2 разряда, и это представляетъ немалое удобство. Такъ, 1/4 отъ 339765 Тиллихъ совтуетъ находить дленіемъ 33 дес. тысячъ на 4, 97 сотенъ на 4 и 65-ти единицъ на 4. Тогда форма вычисленія получится слдующая:

Въ чемъ состоитъ поврка дйствій, и чмъ она вызывается? Поврить дйствіе значитъ произвести такое дополнительное вычисленіе, которое вселило бы нкоторую увренность, что данный намъ нримръ ршенъ правильно. Въ наши времена поврка примняется не очень часто, и даже начинающіе школьники на столько бываютъ уврены въ своихъ силахъ и въ своемъ умньи вычислять, что избгаютъ поврки.

Это съ одной стороны вредно, такъ какъ дти пріучаются съ малыхъ лтъ искать опоры не тамъ, гд надо бы, т.-е. не въ своемъ искусств и умньи. а на сторон: они надодаютъ учителю вопросами «такъ ли?» и постоянно засматриваютъ въ задачники: сходится ли съ отвтомъ?

Этимъ наша школа разслабляетъ дтей, вмсто того, чтобы помогать имъ становиться на ноги.

Старинная школа была счастливе въ выработк характера и самимъ родомъ своихъ занятій закаляла его. Да и какъ было не закалять, когда, напр., въ средніе вка та самая работа требовала отъ дтей усиленныхъ трудовъ, которая теперь едва-едва оставляетъ въ нихъ впечатлніе. Въ средневковой школ какое-нибудь дленіе многозначныхъ чиселъ требовало массы времени, настойчивости, терпнія и т. п. Понятно, что затративши много труда и положивши не мало силъ, счетчику интересно было убдиться, хорошо ли онъ исполнилъ работу, и годится ли результатъ. Этимъ и вызывалась потребность поврки. Еще индусы, творцы ариметики, любили поль-зоваться повркой; впрочемъ, у нихъ была на то своя особенная, спеціальная причина, именно они, какъ ужъ упоминалось не разъ выше, вели вс вычисленія на песк и стирали вс лишнія цифры по мр того, какъ подходили къ концу, такъ что въ самомъ конц у нихъ оставались только данныя числа и отвтъ; вслдствіе этого имъ нельзя было просмотрть дйствіе еще разъ и убдиться, на-сколько врно оно сдлано, поэтому имъ приходилось изобртать особенные способы поврки, которыхъ они и предложили нсколько. Самымъ уиотребительнымъ способомъ, не только у индусовъ, но и вообще во всей школ до ХVIII-го вка была поврка числомъ 9. Она основана на слдующемъ. Если мы возьмемъ 2 слагаемыхъ, напр., 370 и 581, и раздлимъ каждое изъ нихъ на 9, затмъ сложимъ остатки отъ дленія, то эта сумма остатковъ будетъ такою же, какъ если бы мы прямо раздлили на 9 сумму данныхъ чиселъ.

Дйствительно, остатокъ отъ 370:9 будетъ 1, отъ 581 остатокъ будетъ 5 и отъ суммы данныхъ чиселъ, т.-е. отъ 951, остатокъ будетъ тоже 5+1 = 6 (иногда, впрочемъ, изъ суммы остатковъ приходится выкидывать одну или нсколько девятокъ, напр., если бы слагаемыми были 375 и 581, то сумма остатковъ составила бы 11. а остатокъ суммы равнялся бы 2, т.-е. 11—9). Эти числа 1, 5, 6 носятъ названіе поврочныхъ чиселъ, слд. 1 будетъ поврочнымъ числомъ для 370-ти, 5 для 581 и 6 для 951. Огсюда ясно вытекаетъ правило: поврочное число суммы равно сумм поврочныхт чиселъ всхъ слагаемыхъ. Точно также при вычитаніи: поврочное число разности соотвтствуетъ разности поврочныхъ чиселъ уменынаемаго и вычитаемаго; или иначе: повр. число уменьшаемаго равно сумм поврочныхъ чиселъ вычитаемаго и разности. При умноженіи правило такое: повр. число произведенія соотвтствуетъ произведенію повр. чиселъ множителей; и, наконецъ, при дленіи новр. число длимаго со-отвтствуетъ произведенію поврочныхъ чиселъ длителя и частнаго.