Какую цль преслдуетъ ариметика въ нашихъ школахъ? Очевидно, она желаетъ научить дйствіямъ и ршенію практическихъ задачъ. Но не всегда эта цль такой и была, потому что въ различные вка и при разныхъ научныхъ системахъ она то суживалась, то расширялась, то уклонялась въ сторону. Она суживалась до вычисленія одной только пасхаліи въ средневковыхъ христіанскихъ школахъ; она расширядась до изученія алгебры у индусовъ и арабовъ, до извлеченія корней въ недавнее время и до пропорцій въ наши дни; и корни, и пропорціи такъ же чужды настоящей ариметик и ея цлямъ, какъ «раздленіе втровъ во оризонт» и «изображеніе кумпаса», пріютившіяся въ ариметик Магницкаго. Но самымъ уродливымъ уклоненіемъ нашей науки съ ея истиннаго пути было то, когда вмсто вычисленій и дйствій ученые занимались классификаціей чиселъ и открытіемъ ихъ таинственныхъ свойствъ. А стремленіе къ такимъ занятіямъ не разъ прорывалось наружу, особенно у людей, настроенныхъ мистически. Среди нихъ первое мсто занимаетъ греческій философъ Пиагоръ и его послдователи. Онъ жилъ за 500 лтъ до Р. X. въ знаменательное время, когда приблизительно жили и дйствовали основатели новыхъ религій, Зороастръ въ Персіи и Конфуцій въ Кита. То было мистически настроенное время, и Пиагоръ оказался усерднымъ его дтищемъ, такъ какъ вникалъ въ числа и искалъ въ нихъ ихъ внутренняго смысла. Онъ искалъ священныхъ чиселъ и выше всего ставилъ число 36, какъ символъ «всей вселенной», на томъ основаніи, что число 36 равно сумм первыхъ четырехъ четныхъ и первыхъ четырехъ нечетныхъ чиселъ: 36 = 1+3+5+7+2+4+6+8; числомъ 36 пользовались ученики Пиагора, какъ торжественной формулой клятвы. Число 9 было у нихъ символомъ постоянства, такъ какъ вс кратныя 9-ти имютъ суммой цифръ все-таки 9, именно: у дважды девяти, т.-е. у 18, сумма цифръ 1+8=9, у трижды девяти, т.-е. у 27-ми, 2+7=9, у 36-ти 3+6=9 и т. д. Число восемь было символомъ смерти, потолу что кратныя 8-ми, т.-е. 16, 24, 32, 40 имютъ все меньшую и меньшую сумму цифръ: 7, 6, 5, 4. Единица, по Пиагору, обозначала духъ, изъ котораго проистекаетъ весь видимый міръ. Изъ единицы происходитъ двойка, символъ матеріальнаго атома. Принимая въ себя опять единицу, двойка, или матеріальный атомъ, становится тройкой или подвижной частицей. Это символъ живого міра. Живой міръ плюсъ единица, слд., четверка, образуетъ цлое, т.-е. видимое и невидимое. Такъ какъ 10=1+2+3+4, то оно выражаетъ собою «Все». Пиагорейцы провозглашали число началомъ и основаніемъ всхъ вещей, такъ какъ, по ихъ словамъ, природа числа не допускаетъ никакого обмана, она закономрна и неизмнна, она проникаетъ въ неизвстное.

Такими-то хитросплетенными умствованіями занимались пиагореіцы; они не были въ этомъ случа одинокими, потому что извстно не мало и другихъ любителей таинственной, символической ариметики. Прежде всего назовемъ египтянъ, у которыхъ богъ Озирисъ представлялся числомъ 4, богиня Изида числомъ 3, а «Время» числомъ 5, и все это чертилось въ вид прямоугольнаго треугольника со сторонами 3, 4, 5, въ которомъ квадратъ гипотенузы, 5·5=25, равенъ сумм квадратовъ катетовъ: 3·3+4·4. Бредни халдеевъ относительно чиселъ доставили имъ славу волшебниковъ; каждый халдейскій богъ, отъ 1-го и до 60-го, имлъ свое особое число, ему посвященное; даже и духи не были обижены, потому что и имъ были посвящены числа, но только похуже—дробныя. Мистическое ученіе евреевъ, такъ наз., каббала (отсюда «каббалистическіе», т.-е. таинственные, знаки) возникло за 2 вка до Р. X. и развивалось вплоть до XIII столтія и дале. Первыя десять чиселъ считались у нихъ: «путями премудрости».

Христіанская средневковая Европа тоже не лишена была стремленій къ таинственному символическому толкованію чиселъ. Епископъ майнцкій Рабанъ Мавръ въ IX в. ршалъ вопросъ, почему Моисей и Илія постились ровно 40 дней?

Алькуинъ, другъ императора Карла Великаго, заинтересовался численной задачей: почему Св. Апостолъ Петръ поймалъ 153 рыбы? не больше и не меньше, а ровно 153? Алькуину казалось, что онъ нашелъ ршеніе: 153=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17, т.-е. число 153 равно сумм первыхъ 17-ти чиселъ. Но почему же именно 17-ти? На это Алькуинъ ничего не отвчаетъ.

Сколько труда и энергіи тратилось обыкновенно на эти изысканія и на эти изслдованія глубины числовыхъ отношеній! Правда, можно согласиться, что эти труды не пропали безъ всякой пользы и содйствовали теоріи ариметики и такъ называемой теоріи чиселъ, они заставили вникнуть въ разложеніе чиселъ на множителей и на слагаемыя и привели къ числовымъ рядамъ, которые теперь у насъ зовутся прогрессіями. Такъ древне происхожденіе прогрессій! У насъ он отодвинуты на конецъ алгебры, а у древнихъ математиковъ имъ отводилось почетное мсто въ элементарной ариметик.

Дленіе чиселъ на четныя и нечетныя извстно было еще въ древнемъ Египт; оно же было вполн извстно и Пиагору, потому что уже въ его времена была въ ходу игра «въ четъ и нечетъ». Кром того, пиагорейцы раздлили числа на первоначальныя и составныя; первоначальными они называли, подобно намъ, такія числа, которыя не разлагаются на другихъ длителей, а составными т, которыя можно представить въ вид произведенія 2 множителей; и такъ какъ греки, любители и поклонники геометріи, смотрли и на ариметику со стороны геометрическихъ свойствъ, то они еще придумали называть первоначальныя числа линейными, а составныя плоскостными; дйствительно, всякое составное число, напр. 10, разлагается на 2 производителя, въ данномъ случа на 2 и на 5, и потому можетъ обозначать собой площадь, хоть напрмръ, прямоугольника, у котораго стороны 2 и 5; первоначальныя же числа могутъ выражать собой только длину линіи, если, конечно, не вводить дробей.

Еще пиагорейцы выдлили треугольныя числа и квадратныя: треугольное число то, которое представляетъ собою половину произведенія 2 сосднихъ чиселъ, напр., 6 будетъ треугольнымъ числомъ, потому что его можно образовать умноженіемъ 3 на 4 и дленіемъ на 2; вотъ примры треугольныхъ чиселъ: 10=4·5/2, 15=5·6/2, 21=6·7/2, 28=7·8/2, 36=8·9/2 и т. д.

Ясно, почему они заслужили такое названіе: они могутъ выражать собой площадь треугольника. Что значитъ квадратное число, легко догадаться: то число, которое составлено изъ 2-хъ равныхъ множителей; квадратныя числа слдующія: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т. д.

Кром того, у грековъ были «совершенныя числа». Подъ этимъ именемъ разумлись такія, которыя равны сумм всхъ своихъ длителей, считая единицу; самый легкій примръ совершеннаго числа —28, потому что 28=1+2+4+7+14; другимъ примромъ можетъ служить число 496; если сложить всхъ его множителей, считая и единицу, то въ сумм получимъ опять 496; множители слдующіе: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.

Отъ совершенныхъ чиселъ греки перешли къ такъ наз. содружественнымъ. Два числа называются содружественными тогда, когда каждое изъ нихъ равно сумм длителей другого; лучшимъ примромъ такихъ чиселъ могутъ служить 220 и 284, у перваго изъ нихъ длители 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 даютъ вмст 284, а у второго длители 1, 2, 4, 71, 142 даютъ въ сумм число 220. Въ теоріи содружественныхъ чиселъ не обошлось безъ курьеза, опять проявилась та же наклонность къ таинственному и волшебному. Нкій Мадштрити, умершій въ Мадрид въ 1007 году по Р. X., въ своемъ сочиненіи «О цляхъ существующаго» пытается уврить, что содружественныя числа могутъ сыграть роль талисмана или приворотнаго зелья; а способъ для этого очень простой: надо написать на 2 бумажкахъ, на одной число 220, на другой—284, сжечь ихъ и пепелъ выпить съ водой, большее число самому, а меньшее тому, кого желательно къ себ расположить. Другой авторитетный человкъ, нкто Ибн-халдунъ, подтверждаетъ, что дйствительно эти числа имютъ значеніе талисмановъ, и что многіе на дл это испытали и уврились; и онъ самъ, Ибн-халдунъ, на своемъ опыт въ этомъ же уврился.

Все, изложенное выше, принадлежитъ, главпымъ образомъ, грекамъ, потому что вс эти подраздленія и вс формулы разрабатывались въ школ Пиагора и уже отъ позднйшихъ его учениковъ перешли къ арабамъ. Римляне не заносились такъ далеко въ своей фантазіи и предпочитали быть поближе къ практик и наглядности; вычисляли они, какъ выше уже сказано, все больше по пальцамъ и даже ухитрялись замчать на пальцахъ довольно большія числа; при этомъ единицы отмчались пальцами, а десятки до сотни—суставами пальцевъ, именно: