Наконец на рис. 11.18 показан график реакции системы на пилообразное воздействие и фазовый портрет колебаний в ней. Нетрудно заметить, что форма воздействия достаточно слабо влияет на форму временной зависимости реакции системы на заданное воздействие. Это следствие резонансных свойств системы.

Рис. 11.18. Реакция системы на пилообразное воздействие и фазовый портрет колебании при таком воздействии

Нелинейные системы второго порядка, к сожалению, не имеют общих аналитических решений и для моделирования таких систем следует использовать численные методы решения дифференциальных уравнений. Примеры такого рода уже приводились в главе 7, посвященной решению дифференциальных уравнений. Другие примеры вы найдете ниже.

Произвольные линейные системы могут анализироваться и моделироваться хорошо известным (особенно в электротехнике и радиотехнике) операторным методом. При этом методе система и ее воздействие представляются операторными выражениями, т. е. в виде функций параметра — оператора Лапласа s (в литературе встречается и обозначение p). Не вникая в детали этого общеизвестного метода, рассмотрим конкретный пример (файл linsys). Он, для сравнения с предшествующими примерами, дан для системы второго порядка, хотя в данном случае никаких ограничений на порядок системы нет.

Для начала зададим инициализацию применяемых пакетов расширения

Далее зададим операторные выражения для коэффициента передачи системы G и входного сигнала R (в виде единичного перепада) и вычислим с упрощением их произведение:

Теперь, используя обратное преобразование Лапласа, найдем временную зависимость реакции системы в аналитическом (что наиболее ценно) виде:

Теперь мы можем построить график этой зависимости для конкретных значений М, С и K:

Вид этой зависимости представлен на рис. 11.19. Он соответствует реакции системы второго порядка для случая затухающих колебаний.

Рис. 11.19. Одна из временных зависимостей реакции системы второго порядка

А теперь зададимся целью наглядно проиллюстрировать изменение временной зависимости реакции системы при изменении параметра С от 0 до 2 при М=1 и K=1. Для этого выполним следующие вполне очевидные команды:

Соответствующий график показан на рис. 11.20. Он прекрасно иллюстрирует переход от апериодического режима при С=2 к колебательному при С= 0 при изменении времени от 0 до 20.

Рис. 11.20. Динамика развития колебаний в системе при изменении параметра С

Аналогичным образом можно построить трехмерный образ временной зависимости реакции системы для М=1, С=0.25 и изменении параметра K от 0 до 3. Для этого надо выполнить команды:

Диаграмма временных зависимостей представлена на рис. 11.21.

Рис. 11.21. Динамика развития колебаний в системе при изменении параметра K

Представленные на рис. 11.20 и 11.21 диаграммы дают весьма наглядное представление о динамике поведения рассмотренной системы. Но еще важнее то, что просто изменением операторной записи G и R по описанной методике можно анализировать и наглядно представлять работу множества линейных систем.

Вы хотите метнуть камень в огород вашего вредного соседа? Разумеется во время его отсутствия. Давайте промоделируем эту ситуацию, предположив два актуальных случая: дело происходит на Земле в условиях, когда наша планета лишилась воздуха и когда, слава богу, он все же есть. В первом случае сопротивления воздуха нет, а в другом сопротивление воздуха есть и его надо учитывать. Иначе камень упадет в ваш огород, а не в огород соседа!