Риман воплощал в себе полную противоположность. Если Вейерштрасс — это скалолаз, методично отвоевывающий у утеса каждый дюйм, то Риман — скорее акробат на трапеции, бесстрашно взлетающий в воздух в уверенности (которая зрителю может показаться опасным самообманом), что, когда он достигнет точки своего назначения где-то посреди неба, там будет за что ухватиться. Совершенно ясно, что Риман обладал прекрасно развитым зрительным воображением, а также и то, что его мозг совершал прыжки к результатам настолько мощным, элегантным и плодотворным, что он не мог заставить себя остановиться для доказательства. Он живо интересовался философией и физикой, и набор концепций, накопленных им в результате длительного знакомства с этими двумя дисциплинами, — поток ощущений через наши органы чувств, организация этих ощущений в формы и понятия, поток электричества через проводник, движения жидкостей и газов — просматривается за фасадом его математики.

Поэтому работу 1859 года почитают не за ее логическую чистоту и уж заведомо не за ее ясность, а за одну лишь оригинальность примененного Риманом метода и за величайший размах и мощь его результатов, которые уже обеспечили и продолжают обеспечивать его коллег-математиков материалом на десятилетия работы.

О том, что последовало за статьей 1859 года, пишет в своей книге о дзета-функции [78] Хэролд Эдвардс:

Работа Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» имела прямое отношение к попыткам доказать Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ). Если бы выяснилось, что Гипотеза Римана верна, то ТРПЧ была бы получена в качестве следствия. Однако Гипотеза представляет собой намного более сильный результат, чем ТРПЧ, и последнюю можно было бы доказать, исходя и из более слабых предпосылок. Основное значение работы Римана для доказательства ТРПЧ состояло в том, что она предоставила средства — результаты, позволяющие глубоко проникнуть в суть аналитической теории чисел, — с помощью которых и была проложена дорога к доказательству.

Это доказательство появилось в 1896 году. Период, прошедший между выходом работы Римана и доказательством ТРПЧ, был отмечен следующими вехами.

• Вырос объем практических знаний о простых числах. Были опубликованы более длинные таблицы простых чисел, среди которых выделяются таблицы Кулика, представленные Венской академии наук в 1867 году, — там были приведены делители всех чисел до 100 330 200. Эрнст Майсель разработал хитрый способ вычисления (x) — функции, которая считает количество простых чисел. В 1871 году он нашел правильное значение для (100 000 000). В 1885 году он вычислил значение (1000 000 000), которое оказалось на 56 меньше правильного результата (хотя это и обнаружили лишь 70 лет спустя).

• В 1874 году Франц Мертенс добился скромного результата, касающегося чисел обратных к простым, используя методы, которые заимствовали кое-что как у Римана, так и у Чебышева. Ряд 1/ 2+ 1/ 3+ 1/ 5+ 1/ 7+ 1/ 11+ 1/ 13+ … + 1/ p + … расходится, хотя и более медленно, чем гармонический ряд. Явно выписанная сумма ~ ln(ln p).

• В 1881 году Дж. Дж. Сильвестр из Университета Джонса Хопкинса в Соединенных Штатах улучшил найденные Чебышевым границы отклонений (см. главу 8.iii) с 10 до 4 процентов.

• В 1884 году датский математик Йорген Грам опубликовал статью под названием «Исследования числа простых чисел, меньших данного числа» и получил за нее премию Датского математического общества. (Статья не содержала существенного прогресса, но заложила основы для полученных позднее результатов Грама, которые мы рассмотрим в должный момент.)

• В 1885 году голландский математик Томас Стилтьес заявил, что у него есть доказательство Гипотезы Римана. Подробности этой истории мы опишем чуть ниже.

• В 1890 году французская Академия наук объявила, что главная премия будет присуждена за работу по теме «Определение числа простых чисел, меньших заданной величины». Крайним сроком подачи работ на конкурс был июнь 1892 года. В объявлении было ясно сказано, что академия приветствует работу, которая прояснила бы некоторые доказательства, отсутствовавшие в работе Римана 1859 года. Молодой француз Жак Адамар направил статью о представлении некоторых классов функций в терминах их нулей. Риман опирался на подобный результат при выводе своей формулы для (x); именно на этом (математические детали будут подробнее объяснены позже) зиждится связь между простыми числами и нулями дзета-функции, но Риман оставил этот результат без доказательства. Ключевые идеи Адамар взял из своей диссертации, которую защитил в том же году. Он и получил премию.

• В 1895 году немецкий математик Ханс фон Мангольдт доказал основной результат работы Римана, в котором утверждается связь между (x)и дзета-функцией, и преобразовал его к более простому виду. Тогда стало ясно, что если бы была доказана некая теорема, намного более слабая, чем Гипотеза Римана, то применение ее к формуле фон Мангольдта дало бы доказательство ТРПЧ.

• В 1896 году два работавших назависимо математика — уже упомянутый Жак Адамар и бельгиец Шарль де ля Валле Пуссен — доказали этот более слабый результат и, следовательно, ТРПЧ.