Шрифт:
Пусть, например, sравно 1/ 2. Если сложить 100 членов ряда для ( 1/ 2), то получится 0,555023639…; если сложить 10 000 членов, получится 0,599898768…. В действительности значение ( 1/ 2) составляет 0,604898643421630370…. (Существуют определенные приемы позволяющие вычислять такое без необходимости сложения мириад членов.) Вооруженные всем этим, мы можем вычислить значение ( 1/ 2) оно оказывается равным -1,460354508…, что выглядит очень правдоподобно, если судить по первому графику из приведенного выше набора.
Но задержимся на мгновение. Не устроили ли мы тут игру в наперстки с двумя бесконечными рядами, один из которых сходится при аргументе s= 1/ 2, а другой — нет? Ну, строго говоря, мы действуем не совсем по правилам, и я обошелся довольно безответственно с той математикой, на которой здесь все основано. Однако же я получил правильный ответ, причем этот фокус можно повторить для любого числа между нулем и единицей (не включая ее) и получить правильное значение для (s).
За исключением одного только s = 1, где (s)не имеет значения, мы можем теперь предъявить значение дзета-функции для любого числа s, большего нуля. А как насчет аргументов равных нулю или меньших нуля? Вот здесь все по-настоящему круто. Один из результатов в работе Римана 1859 года состоит в доказательстве формулы, впервые предложенной Эйлером в 1749 году, которая выражает (1 – s)через (s). Таким образом, если мы желаем узнать, например, значение (-15), то надо просто вычислить значение (16) и подставить его в эту формулу. Это, правда, неслабая формула, и я привожу ее главным образом для полноты картин: [75]
75
«Неслабая формула» на самом деле не столь уж и страшна. Если, конечно, вы не забыли математику из старших классов. За исключением дзета-функции, там нет ничего такого, чего бы не проходили, по крайней мере частично, в школе. Синус и факториал — это, как говорят математики, «элементарные» функции, так что выписанная формула «элементарно» связывает значение дзета-функции при аргументе 1 - sсо значением при аргументе s. Такая формула, кстати сказать, называется «функциональным уравнением».
Всюду здесь — это магическое число 3,14159265…, sin — добрая старая тригонометрическая функция синус (от аргумента, выраженного в радианах), а знак «!» обозначает факториальную функцию, упоминавшуюся уже в главе 8.iii. В математике, изучаемой в старших классах, вы встречались только с факториальной функцией, аргументами которой являются положительные целые числа: 2! = 1x2, 3! = 1x2x3, 4! = 1x2x3x4 и т.д. В высшей математике, однако, есть способ определить факториальную функцию для всех чисел, кроме отрицательных целых, для чего применяется прием расширения области определения вполне в духе того, которым мы только что пользовались. Например, ( 1/ 2)! оказывается равным 0,8862269254… (на самом деле — половине квадратного корня из ), (- 1/ 4)! = 1,2254167024… и т.д. Отрицательные целые создают проблемы в этой формуле, но это не критические проблемы, и я ничего о них говорить не буду. На рисунке 9.11 изображена полная факториальная функция для аргументов от -4 до 4.
Рисунок 9.11.Полная факториальная функция x!.
Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции (s)для любого числа sза единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает (1 – s)через (s); если вы знаете, как посчитать (16), то вы можете тогда вычислить (-15); если вам известна (4), то вы можете вычислить (-3); если вам известна (1,2), то вы можете выделить (-0,2); если вам известна (0,6), то вы можете вычислить (0,4); если вам известна (0,50001), то вы можете вычислить (0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между (1 – s)и (s), потому что если s = 1/ 2, то 1 - s = s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4 и рисунков с 9.3 по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента 1/ 2. И тем не менее ее значения при аргументах слева от 1/ 2связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.
Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: (s)равна нулю всегда, когда s— отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:
– 2, – 4, – 6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.
А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.
В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению (9.2) два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:
1/(1 - x) = 1 + x+ x 2+ x 3+ x 4+ x 5+ x 6+ …Все, что я собираюсь сделать, — это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/ xравен ln x, я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/(1 - x) равен -ln(1 - x). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице 7.2 . Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид: