Сложение двух комплексных чисел — дело несложное. Надо просто складывать по отдельности вещественные части и отдельно мнимые части: сложение комплексных чисел -2 + 7 iи 5 + 12 iдаст 3 + 19 i. То же и с вычитанием: если в последнем примере вычитать, а не складывать, получим -7 - 5 i. Что касается умножения, надо только помнить правило раскрытия скобок, не забывая при этом, что i 2 = -1: так, (-2 + 7 i)x(5 + 12 i) дает -10 - 24 i + 35 i + 84 i 2, что сводится к -94 + 11 i. В общем случае (a + bi)x(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i.

Деление основано на нехитром приеме. Что такое 2: i?. Ответ: запишем это в виде дроби, как 2/ i. Чудесное свойство дробей состоит в том, что одновременное умножение и числителя, и знаменателя на одно и то же число (не равное нулю) не изменяет дроби: 3/ 4, 6/ 8, 15/ 20и 12 000/ 16 000— это все разные способы записи одной и той же дроби. Итак, умножим числитель и знаменатель дроби 2/ iна - i. Умножение двойки на - iдаст, конечно, -2 i, а iумножить на - iесть - i 2, то есть -(-1), что равно 1. Следовательно, 2/ iравно -2 i/1, что есть просто -2 i.

Такое всегда можно сделать — превратить знаменатель дроби в вещественное число. А поскольку всем известно, как делить на вещественные числа, мы у цели. Как нам поделить два полновесных комплексных числа, скажем, (-7 - 4 i)/(-2 + 5 i)? Вот как: умножим числитель и знаменатель на -2 - 5 i. Давайте сначала выполним умножение сверху: (-7 - 4 i)x(-2 - 5 i) = -6 + 43 i. Теперь снизу: (-2 + 5 i)x(-2 - 5 i) = 29. Ответ: - 6/ 29+ 43/ 29 i. Знаменатель дроби (a + bi)/(c + di)всегда можно превратить в вещественное число, умножив ее на (c - di). Общее правило на самом деле имеет вид

А каков квадратный корень из i? Не потребуется ли нам ввести целый новый класс чисел, чтобы включить i? И все далее и далее до бесконечности? Ответ: перемножим скобки (1 + i)x(1 + i). Результат, как можно видеть, равен 2 i. Значит, квадратный корень из 2 iравен 1 + i. С поправкой на масштаб, квадратный корень из iдолжен быть равен 1/2 + i/2. Это число на самом деле им и является.

Комплексные числа по-настоящему прекрасны. С ними можно делать все, что угодно. Можно даже возводить их в комплексные степени, если вы полностью отдаете себе отчет в том, что делаете. Например, (-7 - 4 i) – 2+5 iравно приблизительно -7611,976356 + 206,350419 i. Однако подробное обсуждение этой темы мы отложим до другого момента.

Чего нельзясделать с комплексными числами, так это уложить их на прямую, как вещественные.

Семейство вещественных чисел R(конечно, с содержащимися в нем Q, Zи N) очень легко себе представить. Просто выстроим все числа вдоль прямой линии. Этот способ представления вещественных чисел называется «вещественная прямая» (рис. 11.1).

Каждое вещественное число лежит где-то на этой прямой. Например, 2 расположен немного к востоку от 1, чуть ближе, чем на полпути до 2, – лежит лишь немного к западу от -3, а 1 000 000 — за пределами рисунка, где-то в соседнем районе. Ясно, что на конечном листе бумаги удается показать только часть прямой. От читателя требуется известная доля воображения.

Вещественная прямая представляется вещью очевидной, но в действительности дело с ней обстоит довольно серьезно и не лишено тайны. Рациональные числа, например, «всюду плотны» на ней. Это значит, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще одно. А это означает, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще бесконечно многорациональных. (Ну правда: если между aи bгарантированно живет c, то между aи c, а также между cи bгарантированно имеется некое dи некое e… и т.д., без конца.) Ладно, это почти удается себе представить. Но где же тогда помещаются иррациональные числа? Кажется, что им приходится как-то втискиваться между рациональными числами, которые, как мы только что видели, уже сидят всюду плотно! Всюду плотно — но при этом расселение еще не закончено.

Возьмем последовательность из главы 1.vii, которая сходится к 2, например 1/ 1, 3/ 2, 7/ 5, 17/ 12, 41/ 29, 99/ 70, 239/ 169, 577/ 408, 1393/ 985, 3363/ 2378, …. Ее члены по очереди делаются то меньше, то больше, чем 2, так что 1393/ 985меньше, чем 2 примерно на 0,000000036440355, a 3363/ 2378больше примерно на 0,00000006252177. Между этими двумя дробями втиснуто еще бесконечно много других дробей… и тем не менее где-то там остается место для 2. И не для одного только 2, а для бесконечного количества других иррациональностей!