Шрифт:
• Следующая матрешка: вещественные числа.Другими словами, рациональные вместе с иррациональными, такими как 2, , e. (Из примечания [18] в главе 3.vi мы помним, что древние греки открыли существование чисел, которые не являются ни целыми, ни дробями, — иррациональныхчисел.)
• Внешняя матрешка: комплексные числа.
Уместно сделать несколько замечаний по поводу такой организации. Во-первых, числа из каждой матрешки записываются характерным для каждой из них способом.
18
Одно из великих математических открытий Античности, сделанное Пифагором или одним из его учеников около 600 г. до P.X., состояло в том, что не всякое число есть целое или дробь. Например, квадратный корень из 2, без сомнения, не является целым. Грубая арифметика показывает, что он лежит где-то между 1,4 (которое в квадрате дает 1,96) и 1,5 (которое в квадрате дает 2,25). Это, однако, и не дробь. Доказательство таково. Пусть Sобозначает множество положительных целых чисел n,для которых выполнено такое свойство: n2— также положительное целое число. Если множество Sне пусто, в нем есть наименьший элемент. ( Любоенепустое множество положительных целых чисел имеет наименьший элемент.) Обозначим этот наименьший элемент буквой k.Теперь образуем число u = (2 - 1)k.Легко видеть, что (i) uменьше, чем k,(ii) u— положительное целое и (iii) u2— также положительное целое, так что (iv) uлежит в множестве S.Это противоречие, поскольку мы определили kкак наименьший элемент из S,и, следовательно, предположение, из которого мы исходили, — что Sне пусто — должно быть ложным. Следовательно, множество Sпусто. Следовательно, нет положительного целого числа n,для которого n2— положительное целое число. Следовательно, 2 — не дробь. Число, которое не является ни целым, ни дробным, называется «иррациональным», поскольку оно не есть отношение (ratio) двух целых чисел.
• Натуральные числа обычно записываются так: 257.
• Целые могут иметь перед собой знак, например -34.
• Рациональные числа чаще всего записываются в виде дробей. В том, что касается записи в виде дроби, рациональные числа бывают двух видов. Те, величина которых (без учета знака) меньше единицы, называются «правильными дробями», а все остальные — «неправильными». Правильная дробь записывается таким образом: 14/ 37. Неправильную дробь можно записать двумя способами: как собственно неправильную дробь 13/ 9или же в «смешанном» виде (с выделенной целой частью) 1 4/ 9.
• Наиболее важным вещественным числам присвоены специальные обозначения, такие как и e. Многие другие можно выразить «в замкнутом виде», подобно
• Комплексные числа выглядят так: -13,052 + 2,477 i. О них мы еще поговорим.
Следующее, что нужно заметить, — это что обитатели каждой матрешки являются привилегированными гражданами следующей (внешней) и при желании могут быть записаны в стиле, принятом для этой внешней матрешки:
• Натуральные числа (скажем, 257) — это привилегированные целые числа, и их можно записать, поставив перед ними знак плюс, как +257. При виде целого числа со знаком плюс перед ним мы думаем: «Натуральное!»
• Целые (скажем, -27) — это привилегированные рациональные числа, и их можно записать в виде дроби, знаменатель которой равен 1, как - 27/ 1. При виде рационального числа со знаменателем 1 мы думаем: «Целое!»
• Рациональные числа (скажем, 1/ 3) — это привилегированные вещественные числа, и их можно записать в виде десятичных дробей, как 0,33333333…. Насчет рациональных чисел интересен тот факт, что при записи рационального числа в виде десятичной дроби знаки после запятой рано или поздно обязательно начнут повторяться (если только они вообще не исчерпаются, как, скажем, в числе 7/ 8= 0,875). Рациональное число 65 463/ 27 100, например, в виде десятичной дроби выглядит следующим образом:
2,4156088560885608856088….Все рациональные числа демонстрируют такие повторы, но ни одно из иррациональных ничего подобного не делает. Другими словами, иррациональное число не может проявлять никакого порядка в последовательности своих знаков после запятой. Число
0,12345678910111212131516171819202…ясно демонстрирует некий порядок, и несложно заранее сказать, каков в нем сотый знак после запятой, или миллионный, или триллионный. (Спорим? Это соответственно 5, 1 и 1). Однако число это иррациональное. Когда же мы видим вещественное число, в котором знаки после запятой повторяются, мы думаем: «Рациональное!»
• Любое вещественное число можно записать как комплексное. Например, 2 записывается в виде комплексного числа как 2 + 0 i. Подробности ниже.
(В этом списке можно и перескочить через несколько ступенек и записать, скажем, натуральное число как вещественное: 257,000000000….)
Каждое семейство чисел — каждая из матрешек — обозначается ажурной буквой: N— семейство всех натуральных чисел, Z— целых, Q— рациональных, a R— вещественных. Каждое семейство в определенном смысле содержится внутри следующего. И каждое расширяет возможности математики, позволяя делать что-то такое, чего нельзя было делать с предыдущей матрешкой. Например, Zпозволяет получить ответ для вычитания любого целого числа из любого целого, чего не удавалось сделать, оставаясь в N(7 - 12 =?). Подобным же образом Qпозволяет получить ответ для деления на любое число (кроме нуля), чего не удавалось сделать, оставаясь в Z((-7):(-12) =?). И наконец, Rоткрывает дорогу анализу — математике пределов, — поскольку любая сходящаяся бесконечная последовательность чисел в Rимеет предел (что неверно для Q).
(Вспомним последовательности и ряды, с которыми мы встретились в конце главы 1. Все они состояли из рациональных чисел. Некоторые из них сходились к 2, или 2/ 3, или 1 1/ 2— т.е. их пределы также оказывались рациональными. Но другие, напротив, сходились к 2, или , или e— иррациональным числам. Таким образом, бесконечная последовательность чисел из Qможет сходиться к пределу, который не лежит в Q. Математический профессиональный термин: Qне является полным. Напротив, Rполно, как полно и С. Эта идея пополнения Qприобретет новое значение, когда в главе 20.v мы будем говорить о p-адических числах.)