B треугольнике FOK углы OFK и OKF равны /2· Следовательно, угол EOK равен их сумме, т. е. . Из треугольника EOK находим EK = R sin . Далее,

Составим теперь отношение объемов и приравняем его к a. После простых преобразований придем к уравнению относительно :

Так как 1 + sin /2 /= 0 (иначе не существует конус), то

откуда

Чтобы можно было осуществить извлечение корня, необходимо взять а >= 8.

Так как а > 0, то выражение, стоящее под знаком арксинуса, как легко проверить, всегда расположено между 0 и 1.

Ответ.

3.40. Так как O1 — центр сферы, касающейся граней SAB и SAC в точках B и C (рис. P.3.40, а), то O1 лежит в плоскости, перпендикулярной к их общему ребру SA и проходящей через эти точки. При этом ED — биссектриса линейного угла ВЕС, измеряющего двугранный угол между рассматриваемыми плоскостями.

Если сделать такие же построения для второй сферы O2, то получим четырехугольник AFBO2, равный четырехугольнику BECO1 (равенство очевидно из соображений симметрии, однако этот факт легко устанавливается и непосредственно). Следовательно, CO1 = AO2 = BO2 = BO1. Заметим, что AO || CO1 как два перпендикуляра к плоскости ASC. Итак, O1O2 = AC = а.

Поскольку O1B ASB, то O1B SB, аналогично O2B SB, откуда SB O1BO2. Мы доказали, что SB — высота пирамиды SO1BO2.

Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос, остается вычислить длину отрезка BO1. Так как отрезок EC из треугольника ASC определяется легко:

EC^2 = a^2/4b^2(4b^2 - a^2),

то дальнейшие вычисления нельзя проводить, оставаясь в плоскости BEC (рис. P.3.40, б). Обратим лишь внимание на тот факт, что треугольники BES и CES равны, т. е. BE = CE, откуда следует, что биссектриса ED является в треугольнике BEC и медианой. Фигура BECO1 — ромбоид (BC EO1). Обозначим EC = с, BO1 = x. Треугольники ECO1 и ECD подобны. Поэтому ED : с = a/2 : x, откуда x = ac/2ED, т. е. x^2 = a^2c^2/4c^2 - a^2. 

Подставляя вместо с = EC его выражение через а и b, получим

OB^2 = a^2(4b^2 - a^2)/4(3b^2 - a^2).

Теперь можно определить высоту треугольника O1BO2, опущенную на O1O2. Она равна

 Все элементы, необходимые для вычисления объема, сосчитаны.

Ответ.

3.41. Расстояние между центрами O1 и O3 двух не касающихся друг друга шаров равно 2r2 (рис. P.3.41, а).

На рис. P.3.41, б изображено осевое сечение конуса, проходящее через O1 и O3. B этом же сечении будет лежать и O5. B треугольнике O5O1Е сторона O1O5 = 2r, а O1Е = r2 , следовательно

 т. е. угол O5O1Е равен 45°. Треугольник ASD подобен треугольнику O1O5Е . Поэтому H = R. Найдем H:

H = SO5 + O5E + ED = 2r + 2r/2 + r = r(22 + 1).

Теперь можно найти и объем конуса:

V = r^3/3(22 + 1)^3.

Ответ. r^3/3(222 + 25).