С другой стороны, VANBMCD = VABCD + VABMD + VABNC.

Проведем AG || KL (см. рис. P.3.29, б). Тогда

AK + BL = GB = 12 sin , SMNCD = 6 · 8 = 48,

VANBMCD = 1/3 SMNCD(AK + BL) = 4 · 48 sin ,

SMANB = 1/2 AB · NM sin = 48 sin .

VABCD + VABMD + VABNC = 48 + 6/3(SABM + SABN) = 48 + 2SMANB = 48 + 2 · 48 sin .

Таким образом,

48 + 2 · 48 sin = 4 · 48 sin .

Отсюда

sin = 1/2 .

Ответ. = /6.

3.30. Поставим четырехугольную пирамиду A1BB1C1C, в которую вписан шар, на основание BB1C1C (рис. P.3.30). Пусть H — высота призмы, а — сторона ее основания. Радиусы окружностей с центрами O и O1 равны R. Так как треугольник B1A1C1 правильный, то а = 23 R.

Рассмотрим треугольник DA1E. Он прямоугольный и его площадь, с одной стороны, равна 1/2 A1D · DE, а с другой стороны, R/2(A1D + DE + A1E). Поскольку

получаем уравнение относительно H, которое после подстановки а = 23 R и возведения в квадрат принимает вид H^2 = 4HR, откуда H = 4R.

Ответ. 123 R^3.

3.31. Центр шара, касающегося трех ребер правильного тетраэдра, исходящих из общей вершины, должен лежать на биссектрисе соответствующего трехгранного угла, которая совпадает с высотой тетраэдра, опущенной из этой же вершины. Поскольку все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке — центре вписанного в тетраэдр шара, достаточно рассмотреть треугольник SOA (рис. P.3.31), где SO — высота тетраэдра, SA — его ребро, а O1 — центр искомого шара и шара, вписанного в тетраэдр.

Треугольники SAO и SO1D подобны. B первом известны все стороны, во втором SO1 = a6/4. = . Это позволяет вычислить R.

Ответ. a2/4.

3.32. Если один куб расположен внутри другого, а вершина O y них общая, то диагонали этих кубов, проходящие через O, лежат на одной прямой. Поэтому из всех подобных кубов, которые можно поместить в параллелепипед, мы выберем максимальный.

Пусть с < а и с < b. Тогда в параллелепипед можно поместить куб с ребром с (рис. P.3.32).

Вычислим все стороны треугольника ABO и воспользуемся теоремой косинусов:

AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2AO · BO cos x,

AO^2 = а^2 + b^2 + с^2, BO^2 = 3c^2,

AB^2 = (а– с)^2 + (b– с)^2.

Для определения cos x получим уравнение

которое симметрично относительно а, b и с, а потому не зависит от соотношения между этими величинами. Убедитесь сами в том, что cos x не будет больше единицы при любых а, b и с.