Перенесем теперь плоскость P параллельно так, чтобы четырехугольник уперся в нее одной из своих вершин, которую обозначим буквой А (рис. P.3.36, б).

Спроецируем четырехугольник ABCD на плоскость P. Поскольку его проекция АВ1С1D1 — квадрат, то ABCD — параллелограмм. Поэтому один из отрезков AB или AD равен 5/2. Предположим, что это AB.

Построим теперь след, оставленный плоскостью четырехугольника ABCD на плоскости P. Для этого построим вначале точку E, в которой пересекаются прямые BC и В1С1, а затем соединим E и А. Угол между плоскостями ABCD и P измерим линейным углом BFB1, равным 45°. Остается провести вычисления:

 следовательно, угол B1AF равен 30° и поэтому B1E = 1/3; находим  и так как , то BC = 7/2.

Ответ. 5 + 7 .

3.37. Опишем около данной пирамиды конус с образующей l, высотой H и радиусом нижнего основания R. Объем конуса больше объема пирамиды. Если мы докажем, что объем конуса меньше куба образующей, то задача тем самым будет решена.

Рассмотрим угол между H и l. Тогда

H = l cos , R = l sin ,

а объем конуса равен

V = /3 R^2H = /3 l^3 sin^2 cos .

 Составим отношение:

V/l^3 = 1/3 sin^2 cos = /6 sin 2 sin <= /6 < 1,

что и доказывает сформулированное в условии утверждение.

3.38. B осевом сечении конуса получим картину, изображенную на рис. P.3.38.

По условию r = pR. Из подобия треугольников ЕОВ и FO1B получим

r/R = H– 2R - r/H– R, т. е. H = 2R^2/R– r,

а из подобия треугольников AOB и ОЕВ (AB = l) найдем

l/ = H– R/R, (5)

т. е.

l = H– R/R = 1 + p/1 - p.

Так как l^2 - ^2 = Н^2, получаем уравнение относительно , решая которое находим ^2 = R^2/p. Полная поверхность конуса равна p( + 1). С помощью производной пропорции из соотношения (5) получим

l + / = H/, т. е. (l + ) = ^2H/R = 2R^2/p(1 - p).

Сумма поверхностей шаров равна 4(R^2 + r^2).

Составим искомое отношение:

2(R^2 + r^2)p(p– 1)/R^2 = 2(1 + p^2)p(1 - p).

Ответ. 2p(1 - p)(1 + p^2).

3.39. Обозначим радиус сферы через R и рассмотрим осевое сечение каждого из конусов. Второй конус можно расположить внутри сферы произвольным образом. Мы расположим его так, чтобы образующие обоих конусов были параллельны (рис. P.3.39). Выразим радиусы оснований конусов через R.