Обозначим радиус ОР = x. После этого многие отрезки на рис. P.3.45 можно будет выразить через R, r и x. Отложим на O3Р3 = R отрезок ВР3 = r. Треугольники O1O2В и Р1Р2Р3 равны, как основания призмы. Перед нами задачи — связать величины r = О1Р1 = О2Р2, R = О3Р3, x = ОР. Прямоугольные треугольники ОО1Е и ОО3С позволяют вычислить отрезки РР1 и Р3Р. Отрезок DР3 = AB можно найти из прямоугольного треугольника О3АВ (О3А можно считать известной величиной). Полученные отрезки образуют прямоугольный треугольник P1DP, для которого будут вычислены все стороны. Теорема Пифагора для этого треугольника и даст нужное нам соотношение между r, R и x.

Проведем теперь все вычисления.

Из треугольника О3АО2 находим

из треугольника О3АВ находим

Следовательно,

Вычисляем

P3Р^2 = CO^2 = (R + x)^2 - (R– x)^2 = 4Rx

и

Р1Р^2 = ЕО^2 = O1O^2 - O1Е^2 = (r + x)^2 - (r– x)^2 = 4rx.

B треугольнике P1DР известна гипотенуза Р1Р. Катет Р1D = r, а катет

По теореме Пифагора Р1Р^2 = Р1D^2 + DP^2, т. е.

или

Решая это уравнение, находим

Хотя правая часть в обоих случаях положительна, нужно взять только знак минус, так как второе значение для x оказывается больше r, что невозможно.

Ответ.

3.46. Пусть O1 и O2 — центры двух равных шаров с радиусом R, а O3— центр третьего шара радиусом r (рис. P.3.46). Треугольник O1O3F прямоугольный, т. е.

O1O3^2 = O1F^2 +O3F^2.

Так как O1O3 = R + r, O1F = R– r, то остается вычислить O3F. Из треугольника BDE, в котором DB = O3F, имеем

DB^2 = DE^2 + ЕВ^2.

Длину отрезка EB можно найти как AB– AE. Но AB = R ctg /2 (из треугольника O1AB), а AE = CD = r ctg /2 (из треугольника O2CD). Таким образом,

EB^2 = (R ctg /2 – r ctg /2)^2.

Отрезок DE можно определить, если воспользоваться условием, что шары O1 и O2 касаются. Отрезок O1O2 равен 2R и параллелен плоскости . Следовательно, KB = 2R и DE = LB = R.

Величина DB^2 теперь найдена: