Шрифт:
(7)
Доказательство. Если x = а — корень уравнения (6), то f(а) и (а) существуют и либо f(а) = 0, либо (а) = 0 (случай, когда оба сомножителя одновременно равны нулю нами из рассмотрения не исключен). Следовательно, одна из систем (7) удовлетворяется при x = а.
Пусть теперь x = а — корень совокупности (7). Если при x = а удовлетворяется либо первая, либо вторая система, то и в том и в другом случае f(x) · (x) = 0, т. е. x = а — корень уравнения (6).
Докажите следующие теоремы о равносильности уравнений.
17. Если к обеим частям уравнения
f(x) = (x)
прибавить выражение (x), то в случае, когда (x) имеет смысл при всяком x, получится равносильное уравнение, в противном случае могут быть потеряны корни.
18. Уравнения
f(x) + (x) - (x) = (x)
и
f(x) = (x)
в случае, когда (x) имеет смысл при всяком x, равносильны; в противном случае второе уравнение является следствием первого.
19. Если в уравнении
(8)
отбросить знаменатель, то получится уравнение
f(x) = (x),
являющееся следствием данного уравнения.
19а. Уравнение (8) равносильно системе
(8а)
20. Если обе части уравнения f(x) = (x) возвести в квадрат, то полученное уравнение
[f(x)]^2 = [(x)]^2 (9)
является следствием данного уравнения. Уравнение (9) равносильно совокупности двух уравнений:
f(x) = (x), f(x) = -(x).
21. Чему равносильна система
22. Докажите, что следствием уравнения
является уравнение
при условии, что
Найдите действительные корни уравнений:
9.1. |x| - 2|x + 1| + 3|x + 2| = 0.
9.2. |x^2 - 9| + |x^2 - 4| = 5.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10. Найдите действительные решения уравнения
|x^2 - 3 · x/2 - 1| = -x^2 - 4x +
и определите, при каких значениях оно имеет единственное [6] действительное решение.
9.11. Решите систему
9.12. Найдите все действительные значения k, при которых решение системы
6
Два совпадающих решения считаются за одно.