Шрифт:
x < 1, 2 < x < 3, 4 < x < 5, 6 < x < 7, 8 < x < 9, x > 10.
Приемы, позволяющие решать более сложные неравенства типа (1), станут понятны, если вы разберете примеры 2 и 3 и следующие за ними упражнения.
Пример 2. Решить неравенство (x + 3)(2x + 2)(x - 4)^2(5 - x) > 0.
Перепишем неравенство в виде
(x + 3)(x + 1)(x– 4)^2(x– 5) < 0,
где в каждой скобке стоит двучлен с коэффициентом 1 при x. Множитель (x - 4)^2 всегда неотрицателен и только в точке x = 4 обращается в нуль. Поэтому его влияние на решение неравенства
ограничивается тем, что он исключает точку x = 4 (рис. 10.5). Остается проследить чередование знаков в неравенстве
(x + 3)(x + 1)(x - 5) < 0.
Ответ. x < -3, -1 < x < 4, 4 < x < 5.
Пример 3. Решить неравенство
(3)
Данное неравенство не удовлетворяется в тех точках, где множители, стоящие в знаменателе, обращаются в нуль (x = 4, x = 2). Поэтому исключим эти точки из дальнейшего рассмотрения, обозначив их на рис. 10.6 светлыми кружками.
В точках же, в которых обращается в нуль числитель (x = -3, x = -1, x = 5), неравенство превращается в равенство, т. е. эти точки должны войти в решение неравенства (3). Отметим их на рисунке черными кружками [8] ).
Множители (x + 3)^2 и (x - 4)^2, не меняющие знака на всей числовой оси, можно опустить, так как их влияние уже учтено. Во всех остальных точках неравенство (3) равносильно такому:
8
Если какая-то точка уже была отмечена светлым кружком, то изменять обозначение не следует.
(x + 1)(x - 5)(x - 2) < 0.
Ответ. x <= -1, 2 < x < 4, 4 < x <= 5.
Решите неравенства:
4. (5 - 2х)(3 - x)^3(x - 4)^2 < 0.
5.
Иррациональные неравенства. Решая уравнения, мы можем получать следствия данного уравнения и закончить решение проверкой, которая отсеивает посторонние корни. При решении же неравенств обычно получаются целые интервалы решений, что сильно усложняет проверку. Поэтому неравенства преобразовывают так, чтобы не нарушалась равносильность.
Начнем с иррациональных неравенств.
Пример 4. Решить неравенство
(4)
Нередко предлагают такое «решение»:
x^2 - 55х + 250 < (x - 14)^2,
– 55х + 250 < -28х + 196,
x > 2,
которое обосновывают следующим образом: «Левая часть меньше правой, но неотрицательна, так как мы имеем дело с арифметическим корнем. Следовательно, обе части данного неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат, не нарушая равносильности неравенства».
Чтобы убедиться, что неравенство решено неверно, подставим в данное неравенство, например, x = 10.
Проанализируем ход приведенных здесь рассуждений. Они доказывают, что если неравенство (4) удовлетворяется при некоторых x, то обе части его можно возвести в квадрат, и тогда x > 2. Однако отсюда не следует обратное, что исходное неравенство удовлетворяется при всех x > 2.
Присутствие в неравенстве (4) квадратного корня накладывало на неизвестное определенные ограничения, которые оказались разрушенными после возведения неравенства (4) в квадрат.
Трехчлен x^2 - 55х + 250 вначале стоял под знаком квадратного корня, а потому должен был быть неотрицательным. После возведения неравенства (4) в квадрат это ограничение исчезло; теперь ничто не мешает трехчлену стать отрицательным. Даже наоборот, в этом случае неравенство x^2 - 55х + 250 < (x - 14)^2 удовлетворяется наверняка, так как справа стоит величина, которая не может стать меньше нуля.