Шрифт:
5. sec x cos x = 1,
6. sec x - 1/cos x = 0,
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. lg xy = lg |x| + lg |y|,
15. lg x^2 = 2 lg x,
16. lg x^2 = 2 lg |x|.
Уравнение, корни уравнения, равносильность. Когда мы говорим, что равенство
аx^2 + bx + с = 0 (1)
является уравнением относительно буквы x, то подразумеваем, что для фиксированных а, b и с (эти буквы являются параметрами уравнения) нужно отыскать значения x, обращающие (1) в истинное числовое равенство.
Другими словами, предполагают, что для букв а, b и с выбраны определенные, хотя и произвольные, значения, в то время как буква x, которой обозначено неизвестное, остается «свободной». Вместо нее можно подставлять различные числа, в результате чего возникнут либо истинные, либо ложные числовые равенства. Равенство (1) выполняет роль «формы» (или «схемы») уравнений, которая превращается в уравнение, как только мы остановим свой выбор на конкретных значениях параметров. Если выбор значений параметров уже сделан, то полученное уравнение можно рассматривать как «форму» числовых равенств — ложных или истинных.
Часто представляют себе уравнение как равенство двух функций (в частности, как равенство функции нулю), а не как форму. Такое представление недостаточно точно, так как может привести к потере корней.
Например, уравнение
x2x = 1 (2)
имеет корни x1 = 1 и x2 = -1, в то время как функция x2x определена только при положительных x.
Если же уравнение (2) мы рассматриваем как форму, порождающую числовые равенства, то при x = -1 слева получим выражение (-1)– 2, которое имеет смысл и равно 1.
Итак, уравнением относительно неизвестного x называется форма числовых равенств, которая превращается в истинное или ложное числовое равенство при подстановке вместо буквы x какого-нибудь числа, взятого из рассматриваемой области чисел. Приведем еще несколько определений.
Пусть x, у, z, ... — неизвестные в уравнении
f(x, у, z, ...) = 0. (3)
Набор значений неизвестных [3]
называется решением уравнения (3), если
f(а, b, с, ...) = 0 (3')
3
Для краткости равенства можно располагать в строку или писать (x, y, z, ...) = (а, b, с, ...).
является истинным числовым равенством.
Решение уравнения с одним неизвестным называют также корнем этого уравнения.
Корнем уравнения 3x^2 + 2x - 1 = 0 является число x = -1, решением уравнения 2у^2 - 3xу + x^2 = 0 является система чисел
Решить уравнение — значит, найти все его решения или доказать, что оно не имеет решений.
Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Другими словами, любое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и, обратно, любое решение второго уравнения является также решением первого уравнения.
Вообще говоря, понятие равносильности тесно связано с определенной областью чисел. Так, уравнения x - 1 = 0 и (x - 1)(x^2 - 3) = 0 равносильны в области целых чисел и неравносильны в области действительных чисел.