Для любого математического выражения можно указать множество систем (наборов) значений входящих в него букв, при которых это выражение существует, т. е. принимает некоторое числовое значение. Такое множество мы будем называть областью определения (областью существования) рассматриваемого математического выражения.

Для выражения

 областью определения является числовая ось с «выколотой» точкой x = -1.

Для выражения logу x найти область определения уже несколько сложнее. Во-первых, из числа x извлекается квадратный корень. Эта операция возможна, если x >= 0. Чтобы затем можно было найти логарифм от x, необходимо x > 0. Оба условия выполняются при x > 0. В основании логарифма может стоять лишь положительное число, отличное от единицы. Таким образом, получаем область определения: x > 0, у > 0, у /= 1.

Два математических выражения называются тождественными, если

1) их области определения совпадают;

2) они принимают одинаковые числовые значения при подстановке в каждое выражение одного и того же набора значений входящих в него букв, произвольно выбранного из области определения.

Равенство, в котором правая и левая части являются тождественными выражениями, называется тождеством.

Для обозначения тождественного равенства иногда используется символ .

Примеры тождеств: (а - b)^2 = а^2 - 2аb + b^2, sin^2 x + cos^2 x = 1,

Первые два тождества общеизвестны. Последнее равенство тоже является тождеством. В самом деле, область определения левой части не содержит ни одной точки, область определения правой части тоже не содержит ни одной точки. Поскольку области определения правой и левой частей — пустые множества, то требования 1) и 2) в определении тождества удовлетворяются. Равенство

, как мы видели, истинно при всех x, кроме x = -1. Оно не является тождеством, так как требование 1) не удовлетворено. Однако нарушение происходит только в одной точке.

Введем понятие неабсолютного тождества.

Пусть в нашем распоряжении есть два математических выражения, имеющих разные области определения. Обозначим через U их общую часть. Если на множестве U значения обоих математических выражений совпадают, то говорят, что они неабсолютно тождественны, а соответствующее равенство называют неабсолютным тождеством.

Характерным примером неабсолютного тождества является соотношение

lg ху = lg x + lg у.

Область определения правой части: x > 0, у > 0, т. е. все точки плоскости, лежащие внутри I квадранта. Область определения левой части: x > 0, у > 0; x < 0, у < 0; это уже будут внутренние точки I и III квадрантов. Общая часть областей определения: x > 0, у > 0. На этой общей части приведенное соотношение превращается в истинное равенство.

Напомним определение тождества, которым обычно пользуются в средней школе.

Тождеством называется равенство, справедливое при всех значениях входящих в него букв, при которых обе его части имеют смысл.

Нетрудно заметить, что это определение объединяет понятия тождества и неабсолютного тождества в одно. Чтобы подчеркнуть, что мы пользуемся другим определением тождества, будем иногда вместо термина тождество употреблять термин абсолютное тождество.

Какие из следующих равенств являются абсолютными тождествами, а какие — неабсолютными? Приведите доказательство сделанного вами вывода.

1. sin^2 x + cos^2 x = 1,

2. tg x = sin x/cos x

3. tg x = 1/ctg x

4. sec x = 1/cos x