Шрифт:
при условии, что а + b + с = 1, а подкоренные выражения неотрицательны.
10.6. Докажите неравенство
(а + b)n < 2n(аn + bn),
если а > 0, b > 0, n — натуральное число.
10.7. Докажите, что при а > b > 0 и p > q где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
10.8. Докажите, что
10.9. Докажите неравенство
a/b + b/c + c/a > 3
где а, b и с — положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
10.10. Докажите, что
а^2 + b^2 + с^2 >= 4S3,
где а, b, с — стороны, а S — площадь некоторого треугольника.
10.11. Докажите, что
(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 10 >= 1
при всех действительных значениях x.
10.12. Докажите, что если действительные числа x, у, z, не равные нулю, удовлетворяют равенствам:
x + у + z = xуz и x^2 = уz,
то
x^2 >= 3.
10.13. Докажите, что если x, у, z — действительные числа, удовлетворяющие равенствам
x + у + z = 5, уz + zx + xу = 8,
то
1 <= x <= 7/3, 1 <= y <= 7/3, 1 <= x <= 7/3. [9]
10.14. Решите неравенство
аx^2 + x + 1 > 0,
9
Так в источнике (прим. от верстальщика fb2).
где а /= 0 — произвольное действительное число.
10.15. Найдите все действительные значения m, при которых квадратный трехчлен x^2 + mx + (m^2 + 6m) будет отрицателен при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству 1 < x < 2.
10.16. Найдите все действительные значения а, при которых корни многочлена x^2 + x + а будут действительными и оба корня будут больше а.
10.17. При каких значениях к корни многочлена
k^2x^2 + kx - 2
будут действительными и один корень по абсолютной величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине будет меньше 1?
10.18. Найдите все действительные значения m, для которых неравенство
тx^2 - 4x + 3m + 1 > 0