Шрифт:
lg^2 sin x– 2а lg sin x– а^2 + 2 = 0.
16.12. Решите систему уравнений
16.13. Решите уравнение
4sin^2 x + 4cos^2 x = -8x^2 + 12|x| - 1/2 .
16.14. Решите уравнение
Глава 17
Функции и их свойства
17.1. Решите неравенство
4f(x) + g(x) <= 0,
если функции f(x) и g(x) удовлетворяют системе
17.2. Сколько различных действительных корней имеет уравнение f(f(x)) = 0, где f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x?
17.3. Найдите все целые x и у, удовлетворяющие системе
17.4. Решите систему уравнений
17.5. Дана функция f(x) = 6х^2 + 2х + 6. Известно, что ее график касается графика первообразной F(x) этой функции в точке, абсцисса которой превосходит число 0,7. Найдите все значения x, для которых
17.6. Изобразите на плоскости (x, у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
log(x - у)(x + у) >= 1.
17.7. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств
17.8. На координатной плоскости заданы точки A(0; 2), B(1; 7), С(10; 7) и D(7; 1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где E — точка пересечения прямых AC и BD.
17.9. Фигура задана на координатной плоскости системой
Сколько интервалов на прямой у = 2 - x образует ортогональная проекция данной фигуры на эту прямую?
17.10. При каких значениях параметра а уравнение
x^2 - (а + 3)x + 2а + 7 = 0
имеет 2 различных целых корня?
17.11. В зависимости от а определите число действительных корней уравнения
х4– (1 - 2а)x^2 + а^2 - 1 = 0.
17.12. При каких значениях параметра а уравнение
2(2а– 1) sin 4х– (а + 3) cos 8х + 3а = 1
имеет ровно восемь решений на отрезке [-, ]?
17.13. На плоскости (x, у) укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства
у = x^2 + 2(а– 1)x + 2(а– 1)^2 - 1,
где а — действительное число.
Глава 18
Задачи на составление уравнений
При решении задач на составление уравнений основную трудность представляет перевод условия задачи с обычного языка на язык математических символов и уравнений. Наиболее ответственный этап этого процесса — выбор неизвестных. Нельзя шаблонно выбирать в качестве неизвестных величины, стоящие в вопросе задачи. Основное требование, которому должны отвечать выбранные неизвестные, состоит в том, чтобы с их помощью можно было прозрачно записать сформулированные в условии задачи соотношения.
Разберем в качестве примера следующую задачу.