Вот простой пример.

Пример 2. Расстояние между двумя пунктами A и В пароход проходит по течению реки на а ч быстрее, чем то же расстояние в стоячей воде, и на b ч быстрее, чем против течения (b > а > 0). За какое время пароход проходит расстояние от A до В по течению?

Если ввести в рассмотрение неизвестные: v — скорость парохода в стоячей воде, w — скорость течения реки, x — расстояние, то получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Найти из этой системы величину x/v + w можно, если сделать следующие преобразования:

и обозначить v/x = у, w/x = z. Мы придем к системе относительно у и z, решив которую, вычислим 1/y + z.

Однако такую систему можно было получить сразу, если бы мы не ввели в качестве неизвестного x пройденное пароходом расстояние.

В условии задачи не было чисел, выраженных в километрах, однако расстояние между пунктами являлось существенным связующим звеном. Это означает, что мы должны были принять его за единицу, а скорости v и w выражать в частях расстояния, пройденных за один час. В результате мы пришли бы к системе

которую не пришлось бы преобразовывать.

Разберем еще одну задачу, на примере которой видно, как решаются задачи на движение.

Пример 3. Из пункта С в пункт D выехал товарный поезд. Через 5 ч 5 мин навстречу ему из пункта D выехал пассажирский поезд. Они встретились в каком-то пункте А. После этого пассажирский поезд приехал в пункт С через 4 ч 6 мин, а товарный — в пункт D через 12 ч 55 мин. Сколько времени каждый поезд находился в пути?

Условия задачи можно отразить на схеме (рис. 18.1), где буквой В обозначено положение товарного поезда в момент выхода пассажирского из пункта D.

То обстоятельство, что оба поезда находились в точке А одновременно, мы отразим на схеме с помощью вертикального отрезка, связывающего оба пути. Схема подсказывает нам и выбор неизвестных. На путь от В до А товарный поезд потратил столько же времени, сколько пассажирский на путь от пункта D до А. Если обозначить это время через x, то на схеме не останется «белых пятен».

Пусть v1 — скорость товарного поезда, а v2 — скорость пассажирского поезда. Каждый из отрезков пути: от пункта С до А и от пункта D до А позволяет составить уравнения

1211/12v1 = хv2, (51/12 + x)v1 = 41/10v2.

Можно составить и уравнение для всего пути:

(51/12 + x + 1211/12)v1, = (x + 41/10) v2,

которое является следствием (точнее, суммой) первых двух уравнений. Однако это уравнение проще второго. Поэтому мы будем решать систему

Разделив первое уравнение на второе, получим

откуда x = 5 ч 10 мин (второй корень отрицательный и не имеет физического смысла). Итак, товарный поезд пройдет весь путь за 23 ч 10 мин, а пассажирский — за 9 ч 16 мин.

18.1. Бассейн наполняется четырьмя трубами за 4 ч. Первая, вторая и четвертая заполняют бассейн за 6 ч. Вторая, третья и четвертая — за 5 ч. За сколько времени заполняют бассейн первая и третья трубы?

18.2. У продавца испортились весы (плечи весов оказались неравными). Продавец отпустил покупателю два веса: первый раз на одну чашку весов положил килограммовую гирю, а на вторую — товар, во второй раз поменял гирю и товар местами. Компенсировал ли продавец неточность весов?