Разделив его на cos^3 x, получим алгебраическое уравнение

у^3 - 2у^2 - у + 2 = 0,

где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:

у1 = -1, у2 = 1, у3 = 2.

Теперь остается решить совокупность уравнений

tg x = -1, tg x = 1, tg x = 2.

Мы получим следующие корни уравнения (1):

x = n ± /4 , x = n + arctg 2.

Случай 2. a0 = 0, или ak = 0, или а0 = ak = 0. Пусть, например, a0 = ak = 0, а a1 /= 0 и ak– 1 /= 0. Тогда уравнение (1) примет вид

a1 sink– 1 x cos x + a2 sink– 2 x cos^2 x + ...

... + ak– 2 sin^2 x cosk– 2 x + ak– 1 sin x cosk– 1 x = 0. (5)

В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение

sin x cos x (a1 sink– 1 x + a2 sink– 2 x cos x + ...

... + ak– 2 sin x cosk– 2 x + ak– 1 cosk– 1 x) = 0,

распадающееся на совокупность уравнений

sin 2х = 0,

a1 sink– 1 x + a2 sink– 2 x cos x + ...

... + ak– 2 sin x cosk– 2 x + ak– 1 cosk– 1 x = 0,

первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).

Пример 2. Решить уравнение

sin4 x cos x– 2 sin^3 x cos^2 x– sin^2 x cos^3 x + 2 sin x cos4 x = 0.

Левую часть уравнения разлагаем на множители:

sin x cos x (sin^3 x– 2 sin^2 x cos x– sin x cos^2 x + 2 cos^3 x) = 0. Получаем совокупность уравнений

sin x = 0, cos x = 0,

sin^3 x– 2 sin^2 x cos x– sin x cos^2 x + 2 cos^3 x = 0.

Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.

Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе

Если переписать эту систему в виде

то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что

Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = 3/2, у = /4 (ни при каком целом n из выражения /4 + 3n/2 нельзя получить 3/4).