Шрифт:
Приведем несколько примеров.
Пример 1. Почему квадрат корня квадратного из неотрицательного числа равен самому этому числу? Другими словами, почему
(a)^2 = a?
Ответ. По определению квадратного корня.
Пример 2. Почему
Ответ. По определению логарифма.
Вспомните определение квадратного корня: квадратным корнем из неотрицательного числа а (а >= 0) называют неотрицательное число a , квадрат которого равен а.
А теперь повторите определение логарифма: логарифмом положительного числа N (N > 0) по положительному и не равному единице основанию а (а > 0, а /= 1) называют такое число loga N, что основание а в степени loga N равно N. Мы убедились в том, что обе формулы (из примеров 1 и 2) представляют собой не что иное, как формальную запись определений квадратного корня и логарифма, соответственно.
Пример 3. Почему две параллельные прямые лежат в одной плоскости?
Ответ. По определению параллельных прямых.
Пример 4. Почему сумма внутренних углов треугольника равна 180°?
Ответ. По теореме о сумме углов треугольника.
Пример 5. Почему сумма всех нечетных чисел, начиная с 1 до 2n + 1, равна квадрату натурального числа n?
Отвечая на этот вопрос, мы не можем сослаться на одну из теорем курса. Поэтому нужно приступить к доказательству. Вы найдете его в главе, посвященной математической индукции.
Задачи
Глава 1
Геометрические задачи на плоскости
Обозначения: а, b, с — стороны треугольника; А, В, С — углы, лежащие против этих сторон, соответственно; mа — медиана стороны а; lA — биссектриса угла А; ha — высота, опущенная на сторону а; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; P = 2р — периметр многоугольника.
Длиной биссектрисы внешнего угла А треугольника называется отрезок биссектрисы, заключенный между точкой А и точкой пересечения биссектрисы с продолжением стороны а.
Отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот общий угол.
Имеет место формула, выражающая длину медианы треугольника через длины его сторон:
Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь S = pr.
Площадь четырехугольника: S = 1/2 d1d2 sin , где d1 и d2 — длины его диагоналей, а — угол между ними.
При решении планиметрических задач приходится применять производные пропорции.
Если
Если
1.1. Вокруг правильного треугольника ABC описана окружность O радиусом R. Окружность O1 касается двух сторон AB и BC треугольника и окружности O. Найдите расстояние от центра окружности О1 до вершины А.
1.2. Высота равнобедренного треугольника с углом при основании больше радиуса вписанного в него круга на m. Определите основание треугольника и радиус описанной окружности.
1.3. Докажите, что радиус окружности, делящей пополам стороны треугольника, вдвое меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника.
1.4. В треугольнике соединены основания биссектрис. Найдите отношение площади данного треугольника к площади образовавшегося треугольника, если стороны данного треугольника относятся как p : q : l.