1.5. Даны углы A, B, C треугольника ABC. Пусть окружность касается сторон BC, AC и AB треугольника соответственно в точках A1, B1, C1. Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 к площади треугольника ABC.

1.6. Дан треугольник ABC, углы B и C которого относятся как 3 : 1, а биссектриса угла А делит площадь треугольника в отношении 2 : 1. Найдите углы треугольника.

1.7. Найдите длину l биссектрисы внешнего угла А треугольника, если даны его стороны b и c и угол А между ними (b /= c).

1.8. В треугольнике площади S, с острым углом при вершине А биссектриса угла А в p раз меньше радиуса описанного и в q раз больше радиуса вписанного круга. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла А.

1.9. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN. Пусть O — точка их пересечения. Известно, что

AO : OM = 3 : 1, а BO : ON = 1 : (3 - 1).

Найдите углы треугольника.

1.10. Внутри угла а взята точка M. Ее проекции P и Q  на стороны угла удалены от вершины O угла на расстояния OP = p и OQ = q. Найдите расстояния MP и MQ от точки M до сторон угла.

1.11. В остроугольном треугольнике две высоты равны 3 и 22 см, а их точка пересечения делит третью высоту в отношении 5 : 1, считая от вершины треугольника. Найдите площадь треугольника.

1.12. В треугольнике ABC разность углов B и C равна /2. Определите угол C, если известно, что сумма сторон b и c равна k, а высота, опущенная из вершины A, равна h.

1.13. В треугольнике ABC имеется точка O, такая, что углы ABO, ВСО и CAO равны . Выразите ctg через площадь треугольника и его стороны.

1.14. В треугольнике ABC дана разность углов A и В ( = A - В > 0). Известно, что высота, опущенная из С на AB, равна BC - AC. Найдите углы треугольника.

1.15. Даны длины высот AA1 = ha и ВВ1 = hb треугольника ABC и длина CD = l биссектрисы угла С. Найдите угол С.

1.16. В треугольник с основанием а и противоположным углом вписана окружность Через центр этой окружности и концы основания треугольника проведена вторая окружность Найдите ее радиус.

1.17. Докажите, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот треугольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне треугольника.

1.18. В треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен r, сторона BC больше r в k раз, а высота, опущенная на эту сторону, больше r в 4 раза. Найдите полупериметр p, tg A/2 и стороны b и c.