Для геометрической прогрессии имеют место формулы:

an = a1qn–  1;

a^2n = an– 1an + 1.

Вторая формула верна, если q /= 1. Бесконечная геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1, называется бесконечно убывающей.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия не обязательно является убывающей последовательностью. Она может быть возрастающей, например, при a1 = -1, q = 1/2 , а может быть колеблющейся: a1 = 1, q = - 1/2 .

Если для бесконечной последовательности существует конечный предел последовательности ее сумм Sn, т. е. существует

, то S называется суммой всех членов этой бесконечной последовательности.

Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела сумму всех своих членов, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно убывающей. В этом случае

19.1. Общий член последовательности

 Является эта последовательность возрастающей или убывающей?

19.2. Докажите, что если члены ap, aq, ar, as арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то последовательность p– q, q– r, r–  s является геометрической прогрессией.

19.3. Докажите, что если положительные числа a, b, с — соответственно m– й, n– й и p– й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то

ab– сbс– aсa– b = 1.

19.4. Докажите, что если а, b, с образуют геометрическую прогрессию, то

где x > 0, x /= 1, а, b, с — различные положительные числа, отличные от единицы.

19.5. Найдите сумму

S = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7,

где последнее слагаемое содержит n цифр.

19.6. Докажите, что

 где цифра 1 повторяется 2n раз, и цифры 2 и 3 только n раз.

19.7. При каких значениях x и у последовательность а1, а2, а3, где

является одновременно арифметической и геометрической прогрессией?

19.8. Пусть х1 и х2 — корни уравнения x^2 - 3х + А = 0, а х3 и х4 — корни уравнения x^2 - 12х + В = 0. Известно, что последовательность х1, х2, х3, x4 является возрастающей геометрической прогрессией. Найдите А и В.

19.9. Решите уравнение

х^3 - 7х^2 + 14х + а = 0,

зная, что его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию.

19.10. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых n членов. Найдите произведение первых n членов, если первый член равен 2.

19.11. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.