Шрифт:
19.12. Найдите трехзначное число по следующим условиям: его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из него вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то получится арифметическая прогрессия.
19.13. Имеющиеся в колхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны возвращались с других полей и вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, после чего в течение нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали все комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было комбайнов в колхозе?
19.14. Три брата, возрасты которых образуют геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег пропорционально своему возрасту. Если бы они это проделали через 3 года, когда самый младший окажется вдвое моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а средний на 15 p. больше, чем сейчас. Сколько лет каждому из братьев?
19.15. Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите всевозможные знаменатели этой геометрической прогрессии.
19.16. Даны два числа а и b. Составим последовательность а, b, a1, b1, a2, b2, ..., аn, bn, ..., каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему арифметическому двух предшествующих. Докажите, что
и найдите предел этой последовательности.
19.17. Найдите все положительные значения а, для которых все неотрицательные значения x, удовлетворяющие уравнению
cos [(8а– 3)x] = cos [(14а + 5)x]
и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.
Глава 20
Суммирование
При решении задач, связанных с последовательностями, приходится доказывать утверждения такого типа: «Для любого целого n >= p (где p — целое) справедливо...»
Доказательство этих утверждений базируется на аксиоме индукции.
Пусть для некоторого утверждения А доказаны две теоремы.
Теорема 1. Утверждение А справедливо для n = p.
Теорема 2. Из условия, что утверждение А справедливо для всех p <= n <= k, следует, что оно справедливо для n = k + 1.
Тогда в качестве аксиомы (она называется аксиомой индукции) принимают, что утверждение А справедливо для всех n >= p (n, p и А — целые числа).
Метод доказательства, основанный на использовании аксиомы индукции, называется методом математической индукции.
С помощью метода математической индукции можно доказать формулы
20.1. Докажите неравенство
20.2. В арифметической прогрессии а1, а2, ..., аn первый член равен разности прогрессии: а1 = d. Считая число n данным, найдите
20.3. Найдите сумму
20.4. Найдите зависимость между натуральными n и А, если
где а /= 0, 1, -1.
20.5. Найдите коэффициент при хn в разложении
(1 + x + 2х^2 + ... + пхn)^2.
20.6. Решите неравенство
|x– 2х^2 + 4х^3 - 8х4 + ... + (-2)n– 1хn + ...| < 1.