Ваховский Евгений Борисович
Шрифт:
11.28. Это — алгебраическая система относительно u = log2x и v = log2(у + 1). (!)
11.29. Оба уравнения можно упростить с помощью формулы
logakN = 1/k logaN (а > 0, а /= 1).
11.30. Первые два уравнения можно рассматривать как систему относительно соответствующих степеней тройки. Нетрудно заметить, что это позволит найти x.
K главе 12
12.1. Выражения, стоящие в квадратных скобках, существенно упростятся, если раскрыть скобки и выполнить возведение в степень. (!)
12.2. Это тождество по структуре похоже на формулу тангенса суммы. Чтобы заметить это, достаточно переписать его так:
tg 2 [tg (30° - ) + tg (60° - )] = 1 - tg (60° - ) tg (30° - ).
12.3. Перенести ctg x в левую часть и преобразовать вместе с 1/2 tg x/2.
12.4. Поскольку нам нужно получить соотношение, в котором участвуют + и , то вместо sin удобно записать sin [( + ) - ] и воспользоваться формулой синуса разности. (!)
12.5. Домножить и разделить на 2 sin /7 и воспользоваться формулой синуса двойного угла. (!)
12.6. Вычислить произведение косинусов этих углов можно, если домножить и разделить его на 2 sin /7. После этого нужно трижды последовательно воспользоваться формулой синуса двойного угла (см. задачу 12.5).
12.7. Удобнее доказать, что правая часть равна левой. Для этого стоящее в правой части выражение нужно преобразовать с учетом данных равенств.
12.8. В произведении sin (x + у) sin (x– у) удобно раскрыть синус суммы и синус разности.
12.9. Выразить дробь, стоящую в правой части последнего равенства, через синусы и косинусы и .
12.10. Данное выражение и выражение, которое нужно вычислить, симметричны относительно , и . Левую часть данного равенства удобно выразить через sin^2, sin^2, sin^2.
12.11. Подставить = + /3, = + 2/3 и записать данное выражение через синусы и косинусы.
12.12. Так как ctg , ctg и ctg образуют арифметическую прогрессию, то ctg + ctg = 2 ctg . Если теперь вспомнить, что = /2– ( + ), то можно получить соотношение, не зависящее от ctg + ctg . (!)
12.13. cos 106° = cos (90° + 16°) = -sin 16° = -2 sin 8° cos 8°.
K главе 13
13.1. Множитель 2 sin (x + /4) замените на sin x + cos x.
13.2. Левую часть можно преобразовать так, чтобы она содержала множителем выражение, стоящее в правой части.
13.3. Выразить левую часть уравнения через sin x и cos x так, чтобы оказалось возможным разложение ее на множители.
13.4. Если преобразовать в сумму произведение синусов двух функций и произведение косинусов этих же функций, то получим сопряженные выражения. Поэтому целесообразно заменить тангенсы через синусы и косинусы соответствующих аргументов.
13.5. Если записать 1/tg x вместо ctg x, то после простых преобразований (следите за их равносильностью) придем к распадающемуся уравнению.
13.6. Прибавить к левой и правой частям уравнения tg 3x. Тогда слева можно вынести за скобки число 3, а справа tg 3x.
13.7. Нетрудно заметить, что множитель sin (x + /4) можно вынести в левой части уравнения за скобки, так как он получается при преобразовании суммы sin x + cos x в произведение.
13.8. Перенести tg 2x в правую часть и привести обе части уравнения к виду, удобному для логарифмирования.
13.9. Избавиться от иррациональностей с помощью перехода под радикалами к функциям половинного аргумента. Использовать условие, что 0 < x < 2, и постараться раскрыть знаки абсолютной величины.