11.4. Обозначить 3– |x– 2| = у и исследовать квадратное уравнение.

11.5. Обозначить 12|x| = у. При исследовании учесть, что не только дискриминант не должен быть отрицательным, но и найденные значения у не могут стать меньше 1. (!)

11.6. Уравнение можно переписать в виде

Прежде чем прологарифмировать, удобно получить в правой части единицу. (!)

11.7. Использовать тот факт, что числа 2 + 3 и 2 - З взаимно обратные

11.8. Уравнение примет более симметричный вид, если разделить обе его части на 2x.

11.9. Отдельно рассмотреть случаи, когда основание равно 0, 1, -1. (!)

11.10. Привести к одинаковому числу под знаком логарифма.

11.11. С помощью формулы logab = logak bk можно добиться того, что в уравнение будут входить только logx7 и log7x.

11.12. Если уравнение прологарифмировать по основанию 3, то мы получим уравнение третьей степени относительно log3x. (!)

11.13. Уравнение легко преобразовать в иррациональное с помощью замены у = logx 3. (!)

11.14. Так как 2 logx 2 = logx 4, то после умножения обеих частей уравнения на log4x оно упростится. Нарушится ли при этом равносильность?

11.15. Вид уравнения подсказывает, что для его решения удобно перейти к логарифмам с общим основанием x. Равносильное ли получится уравнение?

11.16. В уравнение входят логарифмы выражения 3 + x при разных основаниях. Его можно упростить, если воспользоваться формулой

11.17. При решении удобнее следить за равносильностью, чем делать в конце проверку, которая окажется здесь достаточно громоздкой.

11.18. Если logbx записать при основании а, то уравнение упростится.

11.19. Если в каждом из подкоренных выражений произвести логарифмирование с переходом к общему основанию а, то это позволит выделить под радикалами полные квадраты. Очевидно, такие же ограничения, как на а, должны быть наложены и на x.

11.20. Система не может иметь решений, в которых хотя бы одно неизвестное обращается в нуль (докажите). Следовательно, каждое уравнение можно прологарифмировать.

11.21. Поскольку нам известно, чему равно xу, то второе уравнение целесообразно возвести в степень у.

11.22. Из вида системы следует, что x и у положительны. Так как в левых частях уравнений одинаковые показатели степени, то целесообразно попытаться их найти.

11.23. Так как 11xz : 11z = 11(x– 1)z, то с помощью этого соотношения можно получить уравнение относительно

11.24. Так как коэффициенты в левых частях уравнений одинаковы (двойку во втором уравнении можно убрать, прибавив единицу к показателю степени), то целесообразно посмотреть, нет ли у левых частей общего множителя.

11.25. Вначале нужно перейти к общему основанию у логарифмов, а затем получить систему двух алгебраических уравнений.

11.26. Способ 1. Систему можно решить подстановкой, выразив из второго уравнения у через x.

Способ 2. Воспользоваться равенством аlogbc = сlogbа .

11.27. Решение системы нужно начать с использования ограничений, что позволит сократить число рассматриваемых случаев.

Из второго уравнения следует, что x и у — величины одного знака. Поскольку должен существовать log2 (x + у), то x и у положительны. Сумму x + у легко сравнить с единицей.