Среди германских племен Европы Птолемей называл неметов. Распространено мнение, что название "немец" появилось потому, что немецкие купцы не умели говорить по-русски и были "как немые". Меня всегда удивляло, почему название "немец" применялось только к одному народу, хотя остальные иностранцы находились в таком же положении. Из "Географии" Птолемея видно, что название "немец" произошло не от слова "немой", а от названия племени неметов, которые, по-видимому, какое-то время жили по соседству со славянами и с венграми, которые называют немцев nemet.

Диофант

Просматривая каталог рукописей в библиотеке святилища Ризы в Мешхеде, я обнаружил, что в этой библиотеке имеется рукопись арабского перевода нескольких книг "Арифметики" Диофанта (III в. н.э.).Как я ни старался, мне не удалось получить фотокопию или микрофильм этой рукописи. Это удалось Рушди Рашеду из Парижа и Жаку Сезиано из Лозанны, которые издали эту рукопись с французским и английским переводами. Получив от них издания мешхедской рукописи, я перевел ее на русский язык и написал совместно с И.Г.Башмаковой и Е.И.Славутиным статью об этой рукописи. До появления этой рукописи из 13 книг "Арифметики" Дофанта было известно только 6. В этой рукописи оказался перевод еще 4 книг этого труда. "Арифметика" Диофанта это по существу алгебра (арабский переводчик озаглавил свой перевод "Алгебра"). В известных ранее 6 книгах встречались 6 степеней неизвестной величены - число, квадрат, куб, квадрато-квадрат, квадрато-куб и кубо-куб. В новых книгах появились еще две степени - 8-я - квадрато-квадрато-квадрато- квадрат и 9-я - кубо-кубо-куб.

Большая часть труда Диофанта посвящена неопределенным уравнениям, в которых находятся решения, выражаемые рациональными числами a/b, где а и b - натуральные числа. Уравнения Диофанта допускают геометрическую интерпретацию, предложенную И.Г.Башмаковой: неопределенные уравнения с двумя и тремя переменными можно рассматривать как уравнения линии на плоскости и поверхности в пространстве. Пару уравнений с тремя неизвестными можно рассматривать как уравнения линии в пространстве. Более сложные неопределенные уравнения и системы таких уравнений допускают интерпретации в многомерных пространствах.

Для получения решений Диофант обычно дополнял свои уравнения линейными уравнения до n уравнений с n неизвестными и находил решения этих систем.

Я изучал значение "гипергеометрических" названий степеней у Диофанта и других математиков для создания многомерной геометрии.

Папп и Теон

Выше я упоминал александрийского математика Паппа (III в. н.э) Книга Паппа "Математическое собрание" содержит изложение многих результатов математиков предыдущих веков, труды которых не дошли до нас. В моей книге "История неевклидовой геометрии" я подробно рассматривал ряд теорем проективной геометрии, изложенных в труде Паппа, в том числе знаменитую теорему Паппа о шестиугольнике, вписанном в пару прямых.

Я изучал также дополнения Теона Александрийского (IV в.н.э.) к "Началам" Евклида и комментарии Теона к "Алмагесту" Птолемея, в которых он предлагал новое определение "составного отношения" геометрических величин с помощью умножения "знаменований отношений". Развитие этого определения математиками средневекового Востока привело к расширению понятия чосла до того, что мы называем вещественным числом. Теон был также изобретателем той разновидности астролябии, которая была особенно популярна в средние века.

ал-Хорезми

Многие мои работы и работы моих учеников по истории науки посвящены трудам математиков и астрономов средневекового Востока.

Первым крупным из этих ученых был Мухаммад ал-Хорезми (ок.780- ок.850), уроженец Хорезма в Средней Азии, работавший в Багдаде. Одно из его имен ал-Маджуси показывает, что он происходил из семьи "магов" - зороастрийских жрецов. Ал-Хорезми хорошо знал доисламскую персидскую и индийскую математическую и астрономическоую литературу и знакомил с ней арабов. Он был один из тех среднеазиатских ученых, которых собрал сын халифа Гаруна ар-Рашида ал-Ма'мун, когда был наместником Хорасана в Мерве, а затем, когда ал-Ма'мун стал багдадским халифом, перевез с собой в Багдад. В Багдаде ал-Хорезми стал руководителем, "Дома мудрости" - академии наук ал-Ма'муна.

В 1964 г. мы с Ю.Е.Копелевич издали в Ташкенте русские переводы арифметического и алгебраического трактатов ал-Хорезми. В арифметическом трактате, сохранившемся только в средневековом латинском переводе, ал-Хорезми познакомил арабов с "индийским счетом" - тем, что мы называем арабскими цифрами и с арифметикой с помощью этих цифр.

По имени ал-Хорезми руководства по арифметике с помощью арабских цифр назывались в средневековой Европе Algorismus и Algorithmus, от последнего из которых произошел термин "алгоритм". В алгебраическом трактате ал-Хорезми впервые появился термин "алгебра". В этом трактате ал-Хорезми рассмотрел три канонических вида квадратных уравнения с положительными коэффициентами x2+ax=b, x2+b=ax и x2=ax+b. Ал- Хорезми приводил алгебраические уравнения к каноническому виду с помощью операций "ал-джабра" - "восполнения" и "ал-мукабалы" - "противопоставления", которые состояли в переносе вычитаемых членов в другую сторону уравнения в виде прибавляемых и сокращения равных членов в обеих частях уравнения. Поэтому ал-Хорезми назвал свою книгу "Краткой книгой об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы". В латинских переводах наука, основанная ал-Хорезми, называлась algebra et al- mucabala. Впоследствии вторая половина этого названия была отброшена.

Для каждого канонического вида квадратных уравнений ал-Хорезми формулировал правило решения, которое доказывал с помощью геометрической алгебры. Например, в случае уравнения х2 + 10х =39 он изображал х2 в виде квадрата, пририсовывал к двум его смежным сторонам два прямоугольника со сторонами х и 5 и дополнял полученную Г-образную фигуру до полного квадрата квадратом со стороной 5. Так как площадь Г- образной фигуры по условию равна 39, площадь большого квадрата равна 39+25=64. Поэтому сторона большого квадрата равна 8, Но по построению эта сторона равна х + 5, откуда получаем х =3.