В "Книге о сечениях цилиндра и его поверхности" Сабит ибн Корра рассматривал аффинное преобразование, сохраняющее площади фигур и переводящее круг в эллипс той же площади. В этом трактате рассматривалась также площадь поверхности части наклонного кругового цилиндра между двумя непараллельными плоскостями, выражаемая эллиптической функцией.

В астрономических трактатах Сабита ибн Корры, как и в трактатах ал- Хорезми, изложен ряд правил сферической астрономии равносильных формулам сферической тригонометрии. В астрономических таблицах сабия ал-Баттани, известного в Западной Европе под именем Albategnius, изложено много астрономических правил Ибн Корры, а также приведена таблица географических координат городов из его географического трактата.

Я и мои ученики изучали также труды внука Сабита ибн Корры Ибрагима ибн Синана (908-946). Как показали мы с М.М.Рожанской, в трактате об измерении параболы Ибн Синан применял аффинные преобразования общего вида, а также рассматривал переменные величины.

Очень интересен трактат этого ученого о построении конических сечений, изучавшийся С.А.Красновой. И.О.Лютер показала, что при построении гиперболы Ибн Синан применял проективное преобразование, переводящее окружность х2+у2=а2 в равностороннюю гиперболу х2– у2=а2. Преобразование состоит в том, что в точке М окружности проводится касательная MN до продолжения горизонтального диаметра и в точке N восставляется перпендикуляр NP к этому продолжению равный МN. Точки Р образуют указанную гиперболу. Это преобразование может быть выражено формулами х'=a2/x, y'=ay/x.

Мутазилиты и ар-Рази

Халиф ал-Ма'мун, покровительствовавший багдадским математикам и астрономам, по своим философским убеждениям был мутазилитом. Мутазилиты пытались дать рациональное обоснование догмам ислама и для этого использовали учение об атомистическом строении пространства и времени. Это учение позволяло им считать, что Аллах каждое мгновение заново творит мир и "ни один волос не может упасть с головы человека без воли Аллаха".

По вопросам математического атомизма у мутазилитов были два основные направления - школа ал-Джуббаи, которая развивала математический атомизм демокритовского типа, и школа ал-Ка'би, развивавшая атомизм пифагорейского типа. Имя ал-Ка'би, происходящее от слова ка'б - "куб", указывает на то, что он представлял тела в виде кубических решеток точек.

Просматривая 11-й том каталога рукописей ташкентского Института Востоковедения, я обнаружил сообщение о персидской рукописи, названной в каталоге "Трактат об исследовании частей тел". В описании рукописи она была названа "трактатом об измерении частей тел". Прочитав приведенное в каталоге начало рукописи, я понял, что название рукописи "Рисала-йи тахкик-и аджза'-и джисм "следует переводить "Трактат об исследовании частиц тела". В рукописи упоминался ал-Джуббаи и рассматривался вопрос о том, из скольких частиц, т.е. атомов пространства, состоит наименьшее тело. Трактат был написан в Средней Азии в XVIII веке, это указывает на то, что идеи математического атомизма были живы и в XVIII веке.Я опубликовал текст, русский и английский перевод этой и аналогичной арабской ташкентской рукописи в 1993 г. в Москве и Нью Дели.

Математический атомизм развивался не только религиозными философами, но и некоторыми учеными, работавшими в области естественных наук. К ним относился Абу Бакр ар-Рази (865- 925) автор знаменитых медицинских трактатов "Мансурова книга" и "Всеобъемлющая книга" и алхимических трактатов "Книга тайн" и "Книга тайны тайн".

Ар-Рази был известен в Западной Европе под именем Rhases.

Ал-Бируни, который считал себя продолжателем идей ал-Рази, составил список его трудов. В этом списке ал-Бируни упоминает сочинения ал-Рази "Книга о времени и пространстве", "Трактат о том, что [тот факт, что] диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, не относится к геометрии" и "Что имело место между ним и Абу'л-Касимом ал-Ка'би [по вопросу] о времени". В последнем трактате, по-видимому, ар-Рази защищал демокритовский математический атомизм. Совместно с Н.К.Маруповым мы анализировали сохранившиеся сведения о физических трактатах ар-Рази.

ал-Фараби и ал-Бузджани

Крупнейший арабский философ, уроженец Фараба на Сырдарье, ал- Фараби (ок.870 - 950) был автором нескольких математических и астрономических трудов. Так как Фараб находился на территории нынешнего Казахстана, а сам ал-Фараби происходил из тюркской военной аристократии, казахи относят его к предкам своего народа. Особенно активно изучал творчестно ал-Фараби мой ученик казах Ауданбек Кубесов.

Ал-Фараби был автором огромного энциклопедического труда "Второе учение" ("Первым учением" считалась "Первая философия" Аристотеля), самого ал-Фараби называли "Вторым учителем".

"Второе учение" состояло из изложения логики, физики, математики, астрономии, музыки и метафизики ("божественной науки"). Сохранились только логическая, астрономическая и музыкальная части этого труда.

Мы с Кубесовым издали русские переводы математических трактатов ал-Фараби, важнейшие из которых - его комментарии к Евклиду и трактат о геометрических построениях, а также астрономическую часть его энциклопедии - комментарии к "Алмагесту" Птолемея. В Алма-Ате и Ташкенте изданы также русские и казахские переводы многих трактатов ал-Фараби.

Трактат ал-Фараби о геометрических построениях был дополнен багдадским математиком и астрономом Абу'л-Вафой ал-Бузджани (940­998) учеником ученика Сабита ибн Корры.Трактат ал-Бузджани о геометрических построениях был издан в русском переводе моей ученицы С.А.Красновой. Ее перевод впоследствии был использован мной и Кубесовым при подготовке перевода трактата ал-Фараби.

В трактатах ал-Фараби и ал-Бузджани парабола называлась +"зажигательным зеркалом", а фокус параболы -"точкой зажигания". Из задач, решенных в этих трактатах, отметим задачу о построении квадрата равновеликого сумме n равных данных квадратов, равносильную задачи построения диагонали n-мерного куба, ребро которого равно стороне каждого из данных квадратов.