Ал-Бузджани был также автором арифметического трактата, в котором единственный раз в известной нам средневековой арабской литературе встречаются отрицательные числа. Следуя индийцам, он называет -20 "долг 20", этот термин был известен и математикам средневековой Европы, называвшим "долг" debitum.

Важную роль в истории астрономии сыграла обработка ал-Бузджани "Алмагеста" Птолемея.

ал-Хазин

В VI томе "Научного наследства" я издал свой перевод трактата о пифагоровых тройках чисел Абу Джафара ал-Хазина (ум. ок.965), сабия, работавшего в Хорасане. Пифагоровыми тройками называются такие тройках чисел a, b, c, для которых a2+b2=c2. В этом трактате указан закон композиции квадратичных форм

( х2+у2) ( u2+v2) = (xu-yv)2 + (xv+yu)2, равносильный закону умножения комплексных чисел x+iy и u + iv.

Ал-Хазин был также автором комментариев к "Началам" Евклида и астрономического трактата, в котором он рассматривал движение Солнца, Луны и планет в массивных сферах.

Братья чистоты

В Х веке в Басре и Багдаде работала группа ученых, писавшая трактаты под общим псевдонимом "Братья чистоты и друзья верности". Всего эти "Бурбаки Х века" написали 51 трактат. Эти трактаты охватывали все науки того времени - математические науки, логику, физику, геологию, биологию, медицину, философию, психологию и "божественную науку". В математические науки входили, кроме обычного квадривиума т.е. теории чисел, геометрии, астрономии и теории музыки, также теория отношений и география. В логических трактатах излагались "Органон" Аристотеля и "Введение" Порфирия к "Категориям" Аристотеля.

Я и мои ученики особенно внимательно изучали геометрический трактат Братьев чистоты. В этом трактате рассматривались два вида геометрии: чувственная - то, что постигается зрением и осязанием - и умственная - то, что постигается разумом. Чувственной геометрией Братья чистоты называли атомистическую геометрию, умственной геометрией они называли геометрию "Начал" Евклида. Чувственную геометрию Братьев чистоты можно было бы назвать геометрией "Оптики" Евклида.

ал-Кухи и ал-Сиджзи

Во многих работах моих учеников изучались трактаты иранских математиков X -XI вв. Абу Сахла ал-Кухи и Абу Саида ас-Сиджзи.

В диссертации С.А.Красновой подробно описан "совершенный циркуль" ал-Кухи для вычерчивания конических сечений.

Р.Сафаров перевел на русский язык и опубликовал в ИМИ трактат ал- Сиджзи "Книга об измерении шаров шарами", посвященный трехмерной геометрической алгебре. В этом трактате рассматривается разбиение куба с ребром a+b на кубы a3 и b3 и три параллелепипеда объемом (a+b)ab и аналогичное разбиение шара, обобщающее задачу Архимеда об арбелоне.

Ибн Сина

Энциклопедический трактат ал-Фараби получил дальнейшее развитие в "Книге исцеления" одного из крупнейших ученых средневековья Абу Али Ибн Сины (980-1037), известного в Европе под именем Авиценны. В названии этого трактата имелось в виду "исцеление души от невежества".

Я с Н.А.Садовским перевели на русский язык и издали в Душанбе математические главы "Книги знания" персидского сокращения "Книги исцеления". Строение "Книги исцеления " и ее сокращений - "Книги спасения" и "Книги знания" было таким же, как строение "Второго учения" ал-Фараби: логика, физика, квадривиум, "божественная наука".

В средние века была очень популярна "триада Авиценны" - его учение о том, что общие понятия могут быть трех видов - в разуме Бога, в вещах и в человеческом разуме. В Западной Европе эта триада развивалась Фомой Аквинским, который называл три вида общих понятий Ибн Сины "до вещей", "в вещах" и "после вещей".

Ибн Сина был крупнейшим врачом средневековья, по его "Канону медицины" учились врачи и Востока и Западной Европы. В "Каноне медицины", рассматривая строение глаза, Ибн Сина объяснял зрение не с помощью зрительных лучей, как Евклид и Птолемей, а с помощью лучей, выходящих из источника света.

Ибн Сина был также автором философских, астрономических и математических трактатов и стихов.

В 1980 г. в родном городе Ибн Сины Бухаре, а также в Душанбе и Ташкенте праздновались 1000-летие со дня рождения Ибн Сины.

К этой дате было выпущено много сборников статей, посвященных этому ученому, я участвовал во многих из этих сборников.

Ибн ал-Хайсам

Во многих моих работах и работах моих учеников изучалось творчество одного из крупнейших ученых средневекового Востока ал-Хасана ибн ал- Хайсама (965 - ок.1040), известного в Европе под именем Альхазен, его часто называют "Отцом оптики", так как его "Книга оптики" была основным руководством по этой науке и на Востоке и в Западной Европе.

Ибн ал-Хайсам был также автором большего числа трактатов по оптике, математике и астрономии.

Выше я упоминал о найденной в Самаре рукописи, содержащей несколько трактатов Ибн ал-Хайсама и список его сочинений, составленный им самим за несколько лет до известного ранее списка, помещенного в книге Ибн Аби Усайби'и.

Я перевел на русский язык и опубликовал два доказательства V постулата Ибн ал-Хайсама в его комментариях к "Началам" Евклида. В одном из этих доказательств он сделал ту же логическую ошибку постулирования основания, что и Сабит ибн Корра - допустил существование "простого движения", но во втором же доказательстве явно заменил V постулат Евклида эквивалентным ему утверждением, что одна прямая не может быть параллельна двум пересекающимся прямым. Это утверждение впоследствии получило название "aксиомы Плейфера". В первом доказательстве Ибн ал-Хайсам рассмотрел четырехугольники с тремя прямыми углами и три гипотезы о 4-м угле этих четырехугольников - гипотезы острого, тупого и прямого углов. Эти четырехугольники и гипотезы рассматривались в XVIII веке И.Г.Ламбертом. Гипотеза острого угла выполняется в неевклидовой геометрии Лобачевского, гипотеза тупого угла - в неевклидовой геометрии Римана, а гипотеза прямого угла - в евклидовой геометрии.