где и z — всего лишь пропорциональныамплитудам вероятностей и поэтому не должны лежать внутри единичной окружности. Условие их нормированности(и, следовательно, того, что они дают настоящие амплитуды вероятностей) заключается в том, что сумма квадратових модулейдолжна быть равна единице:

| | 2 + | z | 2 = 1 .

Если числа и z не удовлетворяют этому условию нормировки, то настоящими амплитудами вероятностей альтернатив А и В , соответственно, служат величины

которые лежат внутри единичной окружности.

Теперь мы видим, что амплитуда вероятности в конечном счете представляет собой аналог не настоящей вероятности, а скорее «комплексного квадратного корня» из вероятности. Что происходит с ней, когда эффекты квантового уровня увеличиваются настолько, что достигают классического уровня? Напомним, что, манипулируя с вероятностями и амплитудами, мы иногда сталкивались с необходимостью производить их умножение и сложение. Прежде всего заметим, что операция умноженияне сопряжена с какими-либо проблемами при переходе от квантовых правил к классическим. Происходит это вследствие замечательного математического факта: квадрат модуля произведения двух комплексных чисел равен произведению квадратов модулей каждого из чисел:

| z | 2 = | z | 2 | | 2.

(Это свойство непосредственно следует из геометрического смысла произведения двух комплексных чисел, приведенного в главе 3, но на языке действительной и мнимой частей z = х + iу , = u + iv ; это — прекрасное маленькое чудо. Проверьте сами!)

Из этого факта следует, что если в эксперименте с двумя щелями для частицы существует только один маршрут (открыта только одна щель, например t ), то рассуждения можно строить «классически», и вероятности получатся одними и теми же, независимо от того, наблюдаем ли мы за прохождением частицы в промежуточных точках ее пути (в щели t ) [142] . А квадраты модулей можно будет взять на любой стадии наших вычислений, например,

| A ( s , t )| 2 х | A ( t , p )| 2 = | A ( s , t ) х A ( t , p )| 2 .

Ответ — результирующая вероятность — получится одним и тем же.

Но если перед частицей открыт более чем один маршрут (например, если открыты обе щели), то необходимо образовывать сумму, и здесь-то и начинают обнаруживаться характерные особенности квантовой механики. Когда мы образуем квадрат модуля суммы + z двух комплексных чисел и z , мы обычно не получаемтолько лишь сумму квадратов модулей этих чисел; существует дополнительный «поправочный член»:

| + z | 2 = | | 2 + | z | 2 + 2 | || z | cos ,

где — угол, образуемый направлениями на точки z и из начала координат на плоскости Аргана (рис. 6.9).

(Напомним, что косинус угла есть отношение «прилежащий к углу катет/гипотенуза» для прямоугольного треугольника. Пытливый читатель, незнакомый с этой формулой, может попытаться самостоятельно вывести ее, используя геометрию, изложенную в главе 3. В сущности эта формула есть не что иное, как слегка «замаскированное» хорошо известное «правило косинуса»!) Именно поправочный член 2 | || z | cos описывает квантовую интерференциюмежду квантовомеханическими альтернативами. Значение cos заключено между – 1 и 1 . При = 0 ° мы имеем cos = 1 , и две альтернативы усиливают друг друга так, что полная вероятность оказывается больше суммы отдельных вероятностей. При = 180 ° мы имеем cos = - 1 , и две альтернативы стремятся погасить друг друга, в результате чего полная вероятность оказывается меньше суммы отдельных вероятностей (деструктивная интерференция). При = 90 ° мы имеем cos = 0 , и получается ситуация, промежуточная между двумя упомянутыми выше: две вероятности просто суммируются. Для больших или сложных систем поправочные члены обычно «усредняются», так как «среднее» значение cos равно нулю, и мы получаем обычные правила классической вероятности! Но на квантовом уровне эти члены описывают важные интерференционные эффекты.