Но в данном случае для изображения значения комплекснойфункции нам требуется «комплексная ось у » — плоскость Аргана. Для этой цели вообразим, что мы можем использовать два других пространственных измерения: например, у – направление в качестве действительнойоси плоскости Аргана, а z – направление — как мнимуюось. Для получения правильной картины волновой функции мы можем изобразить ( х ) (значение функции в точке х ) точкой на этой плоскости Аргана (т. е. на плоскости yz , проходящей через каждую точку оси х ). Когда положение точки х изменяется, то изменяется также и положение точки на плоскости Аргана. При этом точка описывает некоторую кривую в пространстве, извивающуюся вокруг оси х (рис. 6.10 b).

Назовем эту кривую — кривой рассматриваемой частицы. Если бы мы поместили в некоторой точке х детектор, то вероятность обнаружить частицу в данной точке можно найти, вычислив квадрат модуля амплитуды ( х ), т. е.

| ( x )| 2

равный квадрату расстояния – кривой от оси x [143] .

Чтобы изобразить подобным образом волновую функцию, определенную на всем трехмерном физическом пространстве, понадобилось бы пять измерений: три — для физического пространства и два — для плоскости Аргана в каждой точке, в которой мы строим график функции ( х ). Однако наша упрощенная картина еще нам пригодится. Если мы захотим изучить поведение волновой функции вдоль произвольного направления в физическом пространстве, то для этого необходимо просто выбрать ось х вдоль этой линии, а два других пространственных измерения временно использовать в качестве действительной и мнимой осей на плоскости Аргана. Этот способ поможет нашему осмыслению эксперимента с двумя щелями.

Как я упоминал выше, в классической физике для того, чтобы определить, что будет происходить дальше, необходимо знать скорость (или импульс) частицы. В квантовой механике нам представляется значительная экономия. Волновая функция уже содержит различные амплитуды для различных возможных импульсов! (Кое-кто из недовольных читателей может возразить, что «самое время» говорить об экономии, если принять во внимание, как сильно нам пришлось усложнить простую классическую картину точечной частицы. Хотя я во многом согласен с таким читателем, я все же советую не отвергать те лакомые кусочки, которые ему преподносят, ибо худшее еще впереди!) Каким образом амплитуды скоростей определяются волновой функцией ? На самом же деле лучше думать в терминах амплитуд импульсов. (Напомним, что импульс, или количество движения, равен скорости, умноженной на массу частицы, см. гл.6 «Уравнение Шредингера; уравнение Дирака») Для этого следует применить к волновой функции так называемый гармонический анализ. Подробно объяснять здесь, что это такое, было бы неуместно, скажу только, что он тесно связан с тем, что происходит с музыкальными звуками. Волну любой формы можно разложить в сумму различных «гармоник» (отсюда и термин «гармонический анализ»), которые представляют собой чистые тона различной высоты (т. е. с различными частотами). В случае волновой функции «чистые тона» соответствуют различным возможным значениям импульса, которые может иметь частица, а величина вклада каждого «чистого тона» в определяет амплитуду соответствующего значения импульса. Сами «чистые тона» называются импульсными состояниями.

Как выглядит импульсное состояние, представленное — функцией? Оно похоже на кривую, напоминающую по форме штопор, официальное математическое название которой — винтовая линия(рис. 6.11) [144] .

Штопоры с частыми витками соответствуют большим импульсам, а штопоры, которые едва вращаются, — очень малым импульсам. Существует предельный случай, когда – кривая вообще не делает витков и вырождается в прямую в случае нулевого импульса. В поведении винтовой линии неявно скрыто знаменитое соотношение Планка . Так как энергия Е всегда пропорциональна частоте v ( Е = hv ), то частые витки означают короткую длину волны, большую частотуи, следовательно, большой импульс и высокую энергию, а редкие витки означают малую частоту и низкую энергию. Если плоскости Аргана ориентированы обычным способом (т. е. когда оси х , у , z образуют, как описано выше, правую тройку), то импульсы, направленные в положительном направлении оси х , соответствуют правым штопорам (которые обычно и используются).

Иногда квантовые состояния полезно описывать не в терминах обычных волновых функций, как это было сделано выше, а в терминах волновых функций импульсов. Это сводится к рассмотрению разложения волновой функции по различным импульсным состояниям и построению новой функции ' , зависящей на этот раз не от положения х , а от импульса р ; значение ' ( p ) при любом р задает величину вклада состояния с импульсом р в – функцию. (Пространство величин р называется импульсным пространством.) Смысл ' состоит в том, что при каждом конкретном выборе р комплексное число ' ( р ) задает амплитуду того, что частица имеет импульс р .

Существует математическое название для соотношения между функциями и ' . Каждая из этих функций называется преобразованием Фурье другой — в честь французского инженера и математика Жозефа Фурье (1768–1830). Я ограничусь здесь лишь несколькими замечаниями по поводу преобразования Фурье. Первое замечание: между и ' существует замечательная симметрия. Чтобы перейти от назад к ' , мы по существу прибегаем к той же процедуре, которую использовали при переходе от к ' . Теперь ' становится объектом гармонического анализа. «Чистые тона» (т. е. штопоры в пространстве импульсов) на этот раз называются конфигурационными состояниями. Каждое положение х определяет такой «чистый тон» в пространстве импульсов, а величина такого вклада «чистого тона» в дает значение ( x ).

Конфигурационное состояние соответствует (в терминах обычного пространства) некоторой функции , имеющей острый пик в рассматриваемой точке х , а это значит, что все амплитуды равны нулю, за исключением амплитуды в данной точке. Такая функция называется дельта-функцией (Дирака), хотя, строго говоря, это — не совсем «функция» в обычном смысле, так как ее значение в точке х бесконечно велико. Аналогичным образом импульсные состояния (винтовые линии в конфигурационном пространстве) порождают дельта-функции в пространстве импульсов (рис. 6.12). Таким образом, оказывается, что преобразование Фурье винтовой линии есть дельта-функция и наоборот!